Luyện tập [trang 69-70 sgk Toán 9 Tập 2]
Bài 4 [trang 69 SGK Toán 9 tập 2]
Xem hình 7. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.
Lời giải
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 9
Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung
Hướng dẫn giải Bài 4 [Trang 69 SGK Toán 9 Hình học, Tập 2]
Xem hình 7. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.
Giải
Ta có OA=AT [gt] nên △AOT là tam giác vuông cân tại A, vậy AOB^=450.
Suy ra số đo cung nhỏ AB⏜=450. Do đó số đo cung lớn AB bằng:
AB⏜=3600-450=3150
Hướng dẫn Giải Bài 4 [Trang 69, SGK Toán Hình học 9, Tập 2]
GV:
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Video hướng dẫn giải bài tập
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 2
Bài 7 trang 69 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 7. Cho hai đường tròn cùng tâm \[O\] với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua \[O\] cắt hai đường tròn đó tại các điểm \[A, B, C, D, M, N, P, Q\] [h.8]
a]Em có nhận xét gì về số đo của các cung \[AM, CP, BN, DQ\].
b] Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.
c] Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
a] Các cung nhỏ \[\overparen{AM}, \overparen{CP}, \overparen{BN}, \overparen{DQ}\] có cùng số đo
b] \[\overparen{AM}\] = \[\overparen{DQ}\]; \[\overparen{BN}\] = \[\overparen{PC}\]; \[\overparen{AQ}\] =\[\overparen{ MD}\]; \[\overparen{BP}\] =\[\overparen{NC}\].
c] Các cung lớn bằng nhau:
\[\overparen{AMDQ} = \overparen{MAQD}\]; \[\overparen{BNCP} = \overparen{NBPC}\];
Bài 8 trang 70 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 8. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
a] Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau.
b] Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
c] Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.
d] Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
Hướng dẫn giải:
a] Đúng
b] Sai. Không rõ hai cung nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau không.
c] Sai[ như trên]
d] Đúng
Bài 9 trang 70 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 9. Trên đường tròn tâm \[O\] lấy ba điểm \[A, B, C\] sao cho \[\widehat{AOB} = 100^0\], sđ cung \[\overparen{AC} = 45^0\]. Tính số đo của cung nhỏ \[\overparen{BC}\] và cung lớn \[\overparen{BC}\]. [Xét cả hai trường hợp: điểm \[C\] nằm trên cung nhỏ \[\overparen{AB}\], điểm \[C\] nằm trên cung lớn \[\overparen{AB}\]].
Hướng dẫn giải:
a] Điểm \[C\] nằm trên cung nhỏ \[\overparen{AB}\] [ hình a]
Số đo cung nhỏ \[\overparen{BC} = 100^0 – 45^0 = 55^0\]
Số đo cung lớn \[\overparen{BC} = 360^0 – 55^0 = 305^0\]
b] Điểm \[C\] nằm trên cung lớn \[\overparen{AB}\] [hình b]
Số đo cung nhỏ \[\overparen{BC} = 100^0 + 45^0= 145^0\]
Số đo cung lớn \[\overparen{BC} = 360^0 – 145^0 = 215^0\]
Giaibaitap.me
Page 3
Bài 10 trang 71 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 10. a] Vẽ đường tròn tâm \[O\] bán kinh \[R = 2\] cm. Nêu cách vẽ cung \[\overparen{AB}\] có số đo bằng \[60^0\]. Hỏi dây \[AB\] dài bao nhiêu xentimet?
b] Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.
Hướng dẫn giải:
a] Vẽ đường tròn \[[O; R]\]. Vẽ góc ở tâm có số đo \[60^0\]. Góc này chắn \[\overparen{AB}\] có số đo \[60^0\] [hình a].
Tam giác \[AOB\] cân có \[\widehat{O}=60^0\] nên tam giác đều, suy ra \[AB = R\].
b] Theo câu a, ta có góc ở tâm bằng \[sđ\overparen{AB}=60^0\]. Số đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là \[360^0:60^0= 6\]. Suy ra được \[6\] cung tròn bằng nhau trên đường tròn.
Từ đó suy ra cách vẽ như sau:
Vẽ \[6\] dây cung bằng nhau và bằng bán kính \[R\]:
\[\overparen{{A_1}{A_2}} = \overparen{{A_2}{A_3}} = \overparen{{A_3}{A_4}}= \overparen{{A_4}{A_5}} = \overparen{{A_5}{A_6}} = \overparen{{A_6}{A_1}}\]
\[= {\rm{ }}R\]
Từ đó suy ra \[6\] cung bằng nhau. [hình b]
Bài 11 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 11. Cho hai đường tròn bằng nhau \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại hai điểm \[A\] và \[B\]. Kẻ các đường kính \[AOC, AO'D\]. Gọi \[E\] là giao điểm thứ hai của \[AC\] với đường tròn \[[O']\].
a] So sánh các cung nhỏ \[\overparen{BC}, \overparen{BD}\].
b] Chứng minh rằng \[B\] là điểm chính giữa của cung \[\overparen{EBD}\] [ tức điểm \[B\] chia cung \[\overparen{EBD}\] thành hai cung bằng nhau: \[\overparen{BE}\] = \[\overparen{BD}\] ].
Hướng dẫn giải:
a] Nối \[C\] đến \[D\].
Ta có 2 đường tròn bằng nhau \[=> AC = AD\]
\[=> ∆ ACD\] cân tại \[A\]
Lại có \[\widehat{ABC} = 90^0\]; do có \[OB = OC = OA = R\] [ tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ]
Tương tự có \[\widehat{ABD} = 90^0\]
\[=> \widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 180^0\]
\[=> C; B; D\] thẳng hàng và \[AB \bot CD\]
\[=> BC = BD\]
=> \[\overparen{BC}\] = \[\overparen{BD}\]
b] Nối \[E\] đến \[D\]; từ \[B\] hạ \[BH \bot ED\] Ta có góc \[\widehat{DEA} = 90^0\] [ chứng minh tương tự theo [a] ]
\[=> BH // EC\]
Mà theo [a] ta có \[BE = BD\]
\[=> BH\] là đường trung bình tam giác \[CDE\]
\[=> HE = HD\] mà \[BH \bot ED => B\] là điểm chính giữa \[\overparen{EBD}\]
Bài 12 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 12. Cho tam giác \[ABC\]. Trên tia đối của tia \[AB\] lấy một điểm \[D\] sao cho \[AD = AC\]. Vẽ đường tròn tâm \[O\] ngoại tiếp tam giác \[DBC\]. Từ \[O\] lần lượt hạ các đường vuông góc \[OH\], \[OK\] với \[BC\] và \[BD\] \[[H \in BC, K \in BD]\].
a] Chứng minh rằng \[OH > OK\].
b] So sánh hai cung nhỏ \[\overparen{BD}\] và \[\overparen{BC}\].
Hướng dẫn giải:
a] Trong \[∆ABC\], có \[BC < BA + AC\].
Mà \[AC = AD\] suy ra \[BC < BD\].
Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm, ta có \[OH > OK\].
b] Ta có \[BC < BD\] [cmt]
nên suy ra \[\overparen{BC}\] nhỏ hơn \[\overparen{BD}\] [ liên hệ cung và dây]
Giaibaitap.me
Page 4
Bài 13 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 13. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Giả sử \[AB\] và \[CD\] là các dây song song của đường tròn \[[O]\].
Kẻ \[OI \bot AB\] \[[I \in AB]\] và \[OK \bot CD [K\in CD]\].
Do \[AB //CD\] nên \[I,O,K\] thẳng hàng.
Do các tam giác \[OAB, OCD\] là các tam giác cân đỉnh \[O\] nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.
Vì vậy ta có: \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\]
Giả sử \[AB\] nằm ngoài \[\widehat{COD}\], ta có: \[\widehat {AOC} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat {{O_3}} = {180^0} - \widehat {{O_2}} - \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}\]
Suy ra \[\overparen{AC}\]= \[\overparen{BD}\].
Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta chứng minh tương tự.
Bài 14 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 14
a] Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b] Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
Hướng dẫn giải:
a. Vì \[I\] là điểm chính giữa của \[\overparen{AB}\], suy ra \[\overparen{IA}\] = \[\overparen{IB}\] \[⇒ IA = IB\]
Ta có: \[OA = OB =\] bán kính. Suy ra đường kính \[IK\] là đường trung trực của dây \[AB\]. Vậy \[HA = HB\] [đpcm]
Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh: Vì \[∆ AOB\] cân tại \[O\] và \[HA = HB\] nên \[OH\] là đường phân giác của góc \[\widehat{AOB}\]. Suy ra \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\]
Từ đó suy ra \[\overparen{IA}\] = \[\overparen{IB}\]
Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây \[AB\] đi qua tâm \[O\] của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
b. Ta có: \[\overparen{IA}\] = \[\overparen{IB}\] [gt] \[⇒ IA = IB\]
Điều này chứng tỏ rằng điểm \[ I\] nằm trên đường trung trực của \[AB\] [1]
Ta có \[OA = OB =\] bán kính
Điều này chứng tỏ rằng điểm \[O\] nằm trên đường trung trực của \[AB\] [2]
Từ [1] và [2] chứng tỏ rằng \[OI\] hay \[IK\] là đường trung trực của dây \[AB\]. Suy ra \[IK \bot AB\].
* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Kẻ đường kính \[KOI\] vuông góc với \[AB\].
Ta có \[OA = OB ⇒ ∆OAB\] cân tại \[O\]
Mà \[OH \bot AB\] nên \[OH\] là đường phân giác của \[\widehat{AOB}\] suy ra \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\]
Ta có \[∆OAI = ∆OBI\] [c.g.c]. Do đó \[AI = IB\]. Suy ra \[\overparen{AI}\] = \[\overparen{IB}\].
Vậy \[I\] là điểm chính giữa của \[\overparen{AB}\]
Giaibaitap.me
Page 5
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 6
Bài 19 trang 75 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 19. Cho một đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] và \[S\] là một điểm nằm ngoài đường tròn. \[SA\] và \[SB\] lần lượt cắt đường tròn tại \[M, N\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BM\] và \[AN\]. Chứng minh rằng \[SH\] vuông góc với \[AB\].
Hướng dẫn giải:
\[BM \bot SA\] [\[\widehat{AMB}\] = \[90^{\circ}\] vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn].
Tương tự, có: \[AN \bot SB\]
Như vậy \[BM\] và \[AN\] là hai đường cao của tam giác \[SAB\] và \[H\] là trực tâm.
Suy ra \[SH \bot AB\].
[Trong một tam giác ba đường cao đồng quy]
Bài 20 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 20. Cho hai đường tròn \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\]. Vẽ các đường kính \[AC\] và \[AD\] của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm \[C, B, D\] thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Nối \[B\] với 3 điểm \[A, C, D\] ta có:
\[\widehat{ABC}\] = \[90^{\circ}\]
[góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[\widehat{ABD}\] =\[90^{\circ}\]
[ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Vậy \[\widehat{ABC}\] + \[\widehat{ABD}\] = \[180^{\circ}\]
Suy ra ba điểm \[A, C, D\] thẳng hàng.
Bài 21 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 21. Cho hai đường tròn bằng nhau \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\]. Vẽ đường thẳng qua \[A\] cắt \[O\] tại \[M\] và cắt \[[O']\] tại \[N\] [ \[A\] nằm giữa \[M\] và \[N\]]. Hỏi \[MBN\] là tam giác gi? Tại sao?
Hướng dẫn giải:
Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ \[\overparen{AB}\] bằng nhau. Vì cùng căng dây \[AB\].
Suy ra \[\widehat N = \widehat M\] [cùng chắn hai cung bằng nhau] nên tam giác \[BMN\] là tam giác cân đỉnh \[B\]
Bài 22 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 22. Trên đường tròn \[[O]\] đường kính \[AB\], lấy điểm \[M\] [khác \[A\] và \[B\]]. Vẽ đường qua \[A\] cắt \[[O]\] tại \[A\]. Đường thẳng \[BM\] cắt tiếp tuyến đó tại \[C\]. Chứng minh rằng ta luôn có: \[M{A^2} = MB.MC\]
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[∆MAB\] đồng dạng \[∆MCA\] [\[\widehat{A_{2}}\] = \[\widehat{C}\]; \[\widehat{B}\] = \[\widehat{A_{1}}\]]
nên \[\frac{MA}{MB}\] = \[\frac{MC}{MA}\]
Suy ra \[M{A^2} = MB.MC\]
Giaibaitap.me
Page 7
Bài 23 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 23. Cho đường tròn \[[O]\] và một điểm \[M\] cố định không nằm trên đường tròn. Qua \[M\] kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt \[[O]\] tại \[A\] và \[B\].Đường thẳng thứ nhất cắt \[[O]\] tại \[C\] và \[D\].
Chứng minh \[MA. MB = MC. MD\]
Hướng dẫn giải:
Xét hai trường hợp:
a] \[M\] ở bên trong đường tròn [hình a]
Xét hai tam giác \[MAB'\] và \[MA'B\] có:
\[\widehat{M_{1}}\] = \[\widehat{M_{2}}\] [ đối đỉnh]
\[\widehat{B'}\] = \[\widehat{B}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AA'\]].
Do đó \[∆MAB'\] đồng dạng \[∆MA'B\], suy ra:
\[\frac{MA}{MA'}\] = \[\frac{MB'}{MB}\], do đó \[MA. MB = MB'. MA'\]
b] \[M ở bên ngoài đường tròn [hình b]
Tương tự ta có:
\[∆MAB'\] đồng dạng \[∆MA'B\]
\[\widehat{M}\] chung
\[\widehat{B'}\] = \[\widehat{B}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AA'\]].
Suy ra: \[\frac{MA}{MA'}\] = \[\frac{MB'}{MB}\]
hay \[MA. MB = MB'. MA'\]
Bài 24 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 24. Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài \[AB = 40\]m, chiều cao \[MK = 3\]m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung \[AMB\]
Hướng dẫn giải:
Gọi \[MN = 2R\] là đường kính của đường tròn có cung tròn là \[AMB\]
Theo bài tập 23, ta có:
\[KA. KB = KM. KN\]
hay \[KA. KB = KM. [2R - KM]\]
Thay số, ta có:
\[20. 20 = 3[2R - 3]\]
do đó \[6R = 400 + 9 = 409\].
Vậy \[R\] = \[\frac{409}{6}\] \[≈68,2\] [mét]
Bài 25 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 25. Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài \[4\]cm và một cạnh góc vuông dài \[2,5\] cm.
Hướng dẫn giải:
Cách vẽ như sau:
- Vẽ đoạn thẳng \[BC\] dài \[4cm\].
- Vẽ nửa đưởng tròn đường kính \[BC\].
- Vẽ dây \[AB\] [hoặc dây \[CA\]] dài \[2,5cm\].
Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đầu bài [ \[\widehat{A}\]=\[90^{\circ}\], \[BC = 4cm, AB = 2,5cm\]]
Bài 26 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 26. Cho \[AB, BC, CA \] là ba dây của đường tròn \[[O]\]. Từ điểm chính giữa \[M\] của \[\overparen{AB}\] vẽ dây \[MN\] song song với dây \[BC\]. Gọi giao điểm của \[MN\] và \[AC\] là \[S\]. Chứng minh \[SM = SC\] và \[SN = SA\]
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[\overparen{MA}\]= \[\overparen{MB}\] [theo gt].
\[\overparen{NC}\]= \[\overparen{MB}\] [ vì \[MN // BC\]]
Suy ra \[\overparen{MA}\] = \[\overparen{NC}\], do đó \[\widehat {ACM} = \widehat {CMN}\]
Vậy \[∆SMC\] là tam giác cân, suy ra \[SM = SC\]
Chứng minh tương tự ta cũng có \[∆SAN\] cân , \[SN = SA\].
Giaibaitap.me
Page 8
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 9
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 10
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 11
Bài 36 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 36. Cho đường tròn \[[O]\] và hai dây \[AB\], \[AC\]. Gọi \[M, N\] lần lượt là điểm chính giữa của cung \[AB\] và cung \[AC\]. Đường thẳng \[MN\] cắt dây \[AB\] tại \[E\] và cắt dây \[AC\] tại \[H\]. Chứng minh rằng tam giác \[AEH\] là tam giác cân.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\widehat {AHM}\]= \[\frac{sđ\overparen{AM}+sđ\overparen{NC}}{2}\] [1]
\[\widehat {AEN}\]= \[\frac{sđ\overparen{MB}+sđ\overparen{AN}}{2}\] [2]
[Vì \widehat {AHM}\]và \[\widehat {AEN}\]là các góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn].
Theo gỉả thiết thì:
\[\overparen{AM}=\overparen{MB} [3]\]
\[\overparen{NC}=\overparen{AN} [4]\]
Từ [1],[2], [3], [4], suy ra \[\widehat {AHM}\]= \[\widehat {AEN}\] do đó \[∆AEH\] là tam giác cân.
Bài 37 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 37. Cho đường tròn \[[O]\] và hai dây \[AB\], \[AC\] bằng nhau. Trên cung nhỏ \[AC\] lấy một điểm \[M\]. Gọi \[S\] là giao điểm của \[AM\] và \[BC\]. Chứng minh: \[\widehat {ASC}\]=\[\widehat {MCA}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\widehat {ASC}\]= \[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{MC}}{2}\] [1]
[\[\widehat {ASC}\] là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn \[[O]\]]
và \[\widehat {MCA}\]=\[\frac{sđ\overparen{AM}}{2}\] [2]
[góc nội tiếp chắn cung \[\overparen{AM}\]]
Theo giả thiết thì:
\[AB = AC =>\]\[\overparen{AB}=\overparen{AC}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra: \[\overparen{AB}-\overparen{MC}=\overparen{AC}-\overparen{MC}=\overparen{AM}\]
Từ đó \[\widehat {ASC}=\widehat {MCA}\].
Bài 38 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 38. Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung \[AC, CD, DB\] sao cho
\[sđ\overparen{AC}\]=\[sđ\overparen{CD}\]=\[sđ\overparen{DB}\]=\[60^0\]. Hai đường thẳng \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[E\]. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[T\]. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {AEB}=\widehat {BTC}\];
b] \[CD\] là phân giác của \[\widehat{BTC}\]
Hướng dẫn giải:
a] Ta có \[\widehat{AEB}\] là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:
\[\widehat{AEB}\]=\[\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CD}}{2}\]=\[{{{{180}^0} - {{60}^0}} \over 2} = {60^0}\]
và \[\widehat{BTC}\] cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn [ hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn] nên:
\[\widehat{BTC}\]=\[\frac{\widehat {BAC}-\widehat {BDC}}{2}\]=\[{{[{{180}^0} + {{60}^0}] - [{{60}^0} + {{60}^0}]} \over 2} = {60^0}\]
Vậy \[\widehat {AEB} =\widehat {BTC}\]
b] \[\widehat {DCT} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nên:
\[\widehat {DCT}=\frac{sđ\overparen{CD}}{2}\]
\[\widehat {DCB}\] là góc nội tiếp trên
\[\widehat {DCB}=\frac{sđ\overparen{DB}}{2}={{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}\]
Vậy \[\widehat {DCT}=\widehat {DCB}\] hay \[CD\] là phân giác của \[\widehat {BCT} \]
Bài 39 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 39. Cho \[AB\] và \[CD\] là hai đường kính vuông góc của đường tròn \[[O]\]. Trên cung nhỏ \[BD\] lấy một điểm \[M\]. Tiếp tuyến tại \[M\] cắt tia \[AB\] ở \[E\], đoạn thẳng \[CM\] cắt \[AB\] ở \[S\].Chứng minh \[ES = EM\].
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\widehat{MSE}\] = \[\frac{sđ\overparen{CA}+sđ\overparen{BM}}{2}\] [1]
[ vì \[\widehat{MSE}\] là góc có đỉnh S ở trong đường tròn [O]]
\[\widehat{CME}\] = \[\frac{sđ\overparen{CM}}{2}\]= \[\frac{sđ\overparen{CB}+sđ\overparen{BM}}{2}\] [2]
[\[\widehat{CME}\] là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung].
Theo giả thiết \[\overparen{CA}=\overparen{CB}\] [3]
Từ [1], [2], [3] ta có: \[\widehat{MSE}\] = \[\widehat{CME}\] từ đó \[∆ESM\] là tam giác cân và \[ES = EM\]
Giaibaitap.me
Page 12
Bài 40 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 40. Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn [O], vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD
Trả lời:
Có: \[\widehat {ADS}=\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CE}}{2}\] [định lí góc có đỉnh ở ngoài đường tròn].
\[\widehat {SAD}=\frac{1}{2} sđ\overparen{AE}\] [định lí góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung].
Có: \[\widehat {BAE} = \widehat {EAC}\] \[\Rightarrow \] \[\overparen{BE}=\overparen{EC}\]
\[\Rightarrow\] \[sđ\overparen{AB}\]+\[sđ\overparen{EC}\]=\[sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{BE}\]=
\[sđ\overparen{AE}\]
nên \[\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\]\[\Rightarrow\] tam giác \[SDA\] cân tại \[S\] hay \[SA=SD\].
Bài 41 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 41. Qua điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn \[[O]\] vẽ hai cát tuyến \[ABC\] và \[AMN\] sao cho hai đường thẳng \[BN\] và \[CM\] cắt nhau tại một điểm \[S\] nằm bên trong đường tròn.
Chứng minh:
\[\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có :
\[\widehat{A}\]+\[\widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}\]
\[\widehat A\]=\[\frac{sđ\overparen{CN}-sđ\overparen{BM}}{2}\] [góc \[A\] là góc ngoài \[[0]\]] [1]
\[\widehat {BSM}\]=\[\frac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2}\] [góc \[S\] là góc trong \[[0]\]] [2]
\[\widehat {CMN}\]=\[\frac{sđ\overparen{CN}}{2}\]
\[\Leftrightarrow\] \[2\widehat {CMN}\]=\[sđ\overparen{CN}\]. [3]
Cộng [1] và[2] theo vế với vế:
\[\widehat{A}\]+\[\widehat {BSM}\] =\[\frac{2sđ\overparen{CN}+[sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM]}}{2}\]=\[\overparen{CN}\]
Từ [3] và [4] ta được: \[\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\]
Bài 42 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 42. Cho tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn. \[P, Q, R\] theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \[BC, CA, AB\] bởi các góc \[A, B, C\].
a] Chứng minh \[AP \bot QR\]
b] \[AP\] cắt \[CR\] tại \[I\]. Chứng minh tam giác \[CPI\] là tam giác cân
Hướng dẫn giải:
a] Gọi giao điểm của \[AP\] và \[QR\] là \[K\].
\[\widehat{AKR}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên
\[\widehat{AKR}\] = \[\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}\]=\[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BC}}{4}=90^0\]
Vậy \[\widehat{AKR} = 90^0\] hay \[AP \bot QR\]
b] \[\widehat{CIP}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:
\[\widehat{CIP}\] = \[\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\] [1]
\[\widehat {PCI}\] góc nội tiếp, nên \[\widehat {PCI}\]= \[\frac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\] [2]
Theo giả thiết thì cung \[\overparen{AR} = \overparen{RB}\] [3]
Cung \[\overparen{CP} = \overparen{BP}\] [4]
Từ [1], [2], [3], [4] suy ra: \[\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\]. Do đó \[∆CPI\] cân.
Bài 43 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 43. Cho đường tròn \[[O]\] và hai dây cung song song \[AB, CD\] [\[A\] và \[C\] nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ \[BD\]]; \[AD\] cắt \[BC\] tại \[I\]
Chứng minh \[\widehat{AOC }\] = \[\widehat{AIC }\].
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết: \[\overparen{AC}\]=\[\overparen{BD}\] [vì \[AB // CD\]] [1]
\[\widehat{AIC }\] = \[\frac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BD}}{2}\] [2]
Theo [1] suy ra \[\widehat{AIC }\] = \[sđ\overparen{AC}\] [3]
\[\widehat{AOC }\] = \[sđ\overparen{AC}\] [góc ở tâm chắn cung \[\overparen{AC}\]] [4]
So sánh [3], [4], ta có \[\widehat{AOC }\] = \[\widehat{AIC }\].
Giaibaitap.me
Page 13
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 14
Bài 47 trang 86 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 47. Gọi cung chứa góc \[55^0\] ở bài tập 46 là \[\overparen{AmB}\]. Lấy điểm \[{M_1}\] nằm bên trong và điểm \[{M_2}\] nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \[{M_1},{M_2}\] và cung \[\overparen{AmB}\] nằm cùng về một phía đối với đường thẳng \[AB\]. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {A{M_1}B} > 55^0\];
b] \[\widehat {A{M_2}B} < 55^0\].
Hướng dẫn giải:
\[{M_1}\] là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc \[55^0\] [hình a].
Gọi \[B’, A’\] theo thứ tự là giao điểm của \[{M_1}A\], \[{M_1}B\] với cung tròn. Vì \[\widehat{A{M_1}B}\] là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: \[\widehat {A{M_1}B}\] = \[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{A'B'}}{2}\] = \[55^0\]+ [một số dương].
Vậy \[\widehat {A{M_1}B} > 55^0\]
b]
\[{M_2}\] là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn [h.b], \[{M_2}A,{M_2}B\] lần lượt cắt đường tròn tại \[A’, B’.\] Vì góc \[\widehat {A{M_2}B}\] là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên:
\[\widehat {A{M_2}B}\]=\[\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{A'B'}}{2}\]=\[55^0\]- [một số dương]
Vậy \[\widehat {A{M_2}B} < 55^0\]
Bài 48 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 48. Cho hai điểm \[A, B\] cố định. Từ \[A\] vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm \[B\] bán kính không lớn hơn \[AB\]. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp các đường tròn tâm \[B\] có bán kính \[BA\]. Tiếp tuyến \[BA\] vuông góc với bán kính \[BT\] tại tiếp điểm \[T\].
Do \[AB\] cố định nên quỹ tích của \[T\] là đường tròn đường kính \[AB\].
- Trường hợp các đường tròn tâm \[B\] có bán kính lớn hơn \[BA\]: quỹ tích là tập hợp rỗng.
Bài 49 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 49. Dựng tam giác \[ABC\], biết \[BC = 6cm\], \[\widehat{A}\] = \[40^0\] và đường cao \[AH = 4cm\].
Hướng dẫn giải:
Trình tự dựng gồm 3 bước:
- Dựng đoạn thẳng \[BC = 6cm\]
- Dựng cung chứa góc \[{40^0}\] trên đoạn thẳng \[BC\].
- Dựng đường thẳng \[xy\] song song với \[BC\] và cách \[BC\] một khoảng là \[4cm\] như sau:
Trên đường trung trực \[d\] của đoạn thẳng \[BC\] lấy đoạn \[HH' = 4cm\] [dùng thước có chia khoảng mm]. Dựng đường thẳng \[xy\] vuông góc với \[HH'\] tại \[H\].
Gọi giao điểm \[xy\] và cung chứa góc là \[\widehat{A}\], \[\widehat{A'}\]. Khi đó tam giác \[ABC\] hoặc \[A'BC\] đều thỏa yêu cầu của đề toán
Giaibaitap.me
Page 15
Bài 50 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 50. Cho đường tròn đường kính \[AB\] cố định. \[M\] là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[I\] sao cho \[MI = 2MB\].
a] Chứng minh \[\widehat{AIB}\] không đổi.
b] Tìm tập hợp các điểm \[I\] nói trên.
Hướng dẫn giải:
a] Vì \[\widehat{BMA}\] = \[90^0\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] suy ra trong tam giác vuông \[MIB\] có \[tg\widehat{AIB}\] = \[\frac{MB}{MI}\] = \[\frac{1}{2}\] =>\[\widehat{AIB}\] = \[26^0 34'\]
Vậy \[\widehat{AIB}\] không đổi.
b] Phần thuận:
Khi điểm \[M\] chuyển động trên đường tròn đường kính \[AB\] thì điểm \[I\] cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng \[AB\] cố định dưới góc \[26^0 34'\] , vậy điểm \[I\] thuộc hai cung chứa góc \[26^0 34'\] dựng trên đoạn thẳng \[AB\] [hai cung \[\overparen{AmB}\] và \[\overparen{Am'B}\]]
Phần đảo:
Lấy điểm \[I'\] bất kì thuộc \[\overparen{AmB}\]
hoặc \[\overparen{Am'B}\], \[I'A\] cắt đường tròn đường kính \[AB\] tại \[M'\].
Tam giác vuông \[BMT\], có \[tg\widehat{I'}\] = \[\frac{M'B}{M'I'}\] = \[tg26^034’\]
Kết luận: Quỹ tích điểm \[I\] là hai cung \[\overparen{AmB}\] và \[\overparen{Am'B}\]
Bài 51 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 51. Cho \[I, O\] lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] với \[\widehat{A}\] = \[60^0\]. Gọi \[H\] là giao điểm của các đường cao \[BB'\] và \[CC'\]
Chứng minh các điểm \[B, C, O, H, I\] cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\widehat{BOC}\] = \[2\widehat{BAC}\] = \[2.60^0\] = \[120^0\] [1]
[góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung]
và \[\widehat{BHC}\] = \[\widehat{B'HC'}\] [đối đỉnh]
mà \[\widehat{B'HC'}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\] = \[180^0- 60^0 = 120^0\]
nên \[\widehat{BHC}\] = \[120^0\] [2]
\[\widehat{BIC}\] = \[\widehat{A}\] + \[\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\]
= \[60^0\] + \[\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}\] = \[60^0+ 60^0\]
[sử dụng góc ngoài của tam giác]
Do đó \[\widehat{BIC}\] = \[120^0\]
Từ [1], [2], [3] ta thấy các điểm \[O, H, I\] cùng nằm trên các cung chứa góc \[120^0\] dựng trên đoạn thẳng \[BC\]. Nói cách khác, năm điểm \[B, C, O, H, I\] cùng thuộc một đường tròn
Bài 52 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 52. "Góc sút" của quả phạt đền \[11\] mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là \[7,32m\]. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền \[11 m\].
Hướng dẫn giải:
Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền là \[M\], và bề ngang cầu môn là \[PQ\] thì \[M\] nằm trên đường trung trực của \[PQ\]. Gọi \[H\] là trung điểm \[PQ\], \[\widehat{PMH}\] = \[\alpha\].
Theo các giả thiết đã cho thì trong tam giác vuông \[MHP\], ta có:
\[tgα\] = \[\frac{3,66}{11}\] \[≈ 0,333 => α = 18^036’\].
Vậy góc sút phạt đền là \[2α ≈ 37^012’\].
Giaibaitap.me
Page 16
Bài 53 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 53. Biết \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bẳng sau [nếu có thể]
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1:
Ta có \[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\] => \[\widehat{C}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\]= \[180^0\]– \[80^0\]=\[100^0\]
\[\widehat{B}\] + \[\widehat{D}\] = \[180^0\] => \[\widehat{D}\] = \[180^0\] - \[\widehat{B}\]= \[180^0\] – \[70^0\] = \[110^0\]
Vậy điểm \[\widehat{C}\] = \[100^0\] , \[\widehat{D}\] = \[110^0\]
- Trường hợp 2:
Ta có \[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\]=> \[\widehat{C}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\]= \[180^0\]– \[105^0\]= \[75^0\]
\[\widehat{B}\] + \[\widehat{D}\] = \[180^0\] => \[\widehat{D}\] = \[180^0\] - \[\widehat{B}\]= \[180^0\] – \[75^0\] = \[105^0\]
- Trường hợp 3:
\[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\]=> \[\widehat{C}\] = \[180^0\]- \[\widehat{A}\]= \[180^0\] – \[60^0\] =\[120^0\]
\[\widehat{B}\] + \[\widehat{D}\] = \[180^0\] Chẳng hạn chọn \[\widehat{B}\]= \[70^0\],\[\widehat{D}\] = \[110^0\]
- Trường hợp 4: \[\widehat{D}\] = \[180^0\]- \[\widehat{B}\]= \[180^0\] – \[40^0\]= \[140^0\]
Còn lại \[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\]. Chẳng hạn chọn \[\widehat{A}\]= \[100^0\] ,\[\widehat{B}\] =\[80^0\]
- Trường hợp 5: \[\widehat{A}\] = \[180^0\]- \[\widehat{C}\]=\[180^0\] – \[74^0\]= \[106^0\]
\[\widehat{B}\] = \[180^0\] - \[\widehat{D}\]= \[180^0\] – \[65^0\]= \[115^0\]
- Trường hợp 6: \[\widehat{C}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\]= \[180^0\] – \[95^0\] = \[85^0\]
\[\widehat{B}\] = \[180^0\] - \[\widehat{D}\]=\[180^0\] – \[98^0\] = \[82^0\]
Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau:
Bài 54 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 54. Tứ giác \[ABCD\] có \[\widehat{ABC}\] + \[\widehat{ADC}\] = \[180^0\]. Chứng minh rằng các đường trung trực của \[AC, BD, AB\] cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn giải:
Tứ giác \[ABCD\] có tổng hai góc đối diện bằng \[180^0\] nên nội tiếp đường tròn tâm \[O\], ta có
\[OA = OB = OC = OD\]
Do đó các đường trung trực của \[AB, BD, AB\] cùng đi qua \[O\]
Bài 55 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 55. Cho \[ABCD\] là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \[M\], biết \[\widehat {DAB}\]= \[80^0\], \[\widehat {DAM}\] = \[30^0\], \[\widehat {BMC}\]= \[70^0\].
Hãy tính số đo các góc \[\widehat {MAB}\], \[\widehat {BCM}\], \[\widehat {AMB}\], \[\widehat {DMC}\], \[\widehat {AMD}\], \[\widehat {MCD}\] và \[\widehat {BCD}\]
Ta có: \[\widehat {MAB} = \widehat {DAB} - \widehat {DAM} = {80^0} - {30^0} = {50^0}\] [1]
- \[∆MBC\] là tam giác cân [\[MB= MC\]] nên \[\widehat {BCM} = {{{{180}^0} - {{70}^0}} \over 2} = {55^0}\] [2]
- \[∆MAB\] là tam giác cân [\[MA=MB\]] nên \[\widehat {MAB} = {50^0}\] [theo [1]]
Vậy \[\widehat {AMB} = {180^0} - {2.50^0} = {80^0}\]
\[\widehat {BAD}\] =\[\frac{sđ\overparen{BCD}}{2}\][số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn]
\[=>sđ\overparen{BCD}\]=\[2.\widehat {BAD} = {2.80^0} = {160^0}\]
Mà \[sđ\overparen{BC}\]= \[\widehat {BMC} = {70^0}\] [số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn]
Vậy \[sđ\overparen{DC}\]=\[{160^0} - {70^0} = {90^0}\] [vì C nằm trên cung nhỏ cung \[BD\]]
Suy ra \[\widehat {DMC} = {90^0}\] [4]
\[∆MAD\] là tam giác cân [\[MA= MD\]]
Suy ra \[\widehat {AMD} = {180^0} - {2.30^0}\] [5]
\[∆MCD\] là tam giác vuông cân [\[MC= MD\]] và \[\widehat {DMC} = {90^0}\]
Suy ra \[\widehat {MCD} = \widehat {MDC} = {45^0}\] [6]
\[\widehat {BCD} = {100^0}\] theo [2] và [6] và vì CM là tia nằm giữa hai tia \[CB, CD\].
Bài 56 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 56. Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác \[ABCD\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\widehat{BCE}\] = \[\widehat{DCF}\] [hai góc đối đỉnh]
Đặt \[x\] = \[\widehat{BCE}\] = \[\widehat{DCF}\]. Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:
\[\widehat{ABC}\] = \[x\] + \[40^0\] [1]
\[\widehat{ADC}\] = \[x\] + \[20^0\] [2]
Lại có \[\widehat{ABC}\] +\[\widehat{ADC}\] = \[180^0\] [3]
[hai góc đối diện tứ giác nội tiếp]
Từ [1], [2], [3] suy ra:
\[180^0\] = \[2x\] + \[60^0\] \[\Rightarrow\] \[x \]= \[60^0\]
Từ [1], ta có:
\[\widehat{ABC}\] = \[60^0\] + \[40^0\] = \[100^0\]
Từ [2], ta có:
\[\widehat{ADC}\] = \[60^0\] +\[20^0\] = \[80^0\]
\[\widehat{BCD}\] = \[180^0\] \[– x\] [hai góc kề bù]
\[\Rightarrow\]\[\widehat{BCD}\] = \[120^0\]
\[\widehat{BAD}\] = \[180^0\] - \[\widehat{BCD}\] [hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp]
\[\Rightarrow\] \[\widehat{BAD}\] = \[180^0\]– \[120^0\] = \[60^0\]
Giaibaitap.me
Page 17
Bài 57 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 57. Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:
Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng \[180^0\].Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật [hay hình vuông] thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là \[90^0\] + \[90^0\] = \[180^0\]
Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.
Hình thang cân \[ABCD [BC= AD]\] có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau
\[\widehat{A}\] = \[\widehat{B}\], \[\widehat{C}\] = \[\widehat{D}\]; mà \[\widehat{A}\] +\[\widehat{D}\] = \[180^0\] [hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \[AD\] với \[AD // CD\]],suy ra \[\widehat{A}\] +\[\widehat{C}\] =\[180^0\]. Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng \[180^0\]nên nội tiếp được đường tròn
Bài 58 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 58. Cho tam giác đều \[ABC\]. Trên nửa mặt phẳng bờ \[BC\] không chứa đỉnh \[A\], lấy điểm \[D\] sao cho \[DB = DC\] và \[\widehat{DCB}\] =\[\frac{1}{2}\] \[\widehat{ACB}\].
a] Chứng minh \[ABDC\] là tứ giác nội tiếp.
b] Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \[A, B, D, C\].
Hướng dẫn giải:
a] Theo giả thiết, \[\widehat{DCB}\] =\[\frac{1}{2}\] \[\widehat{ACB}\] = \[\frac{1}{2}\] .\[60^0\]= \[30^0\]
\[\widehat{ACD}\] = \[\widehat{ACB}\] + \[\widehat{BCD}\] [tia \[CB\] nằm giữa hai tia \[CA, CD\]]
\[\Rightarrow\]\[\widehat{ACD}\] = \[60^0\] + \[30^0\]=\[90^0\] [1]
Do \[DB = CD\] nên ∆BDC cân => \[\widehat{DBC}\] = \[\widehat{DCB}\] = 30o
Từ đó \[\widehat{ABD}\] = \[30^0\]+\[60^0\]=\[90^0\] [2]
Từ [1] và [2] có \[\widehat{ACD}\] + \[\widehat{ABD}\] = \[180^0\] nên tứ giác \[ABDC\] nội tiếp được.
b] Vì \[\widehat{ABD}\] = \[90^0\]nên \[AD\] là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[ABDC\], do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[ABDC\] là trung điểm \[AD\].
Bài 59 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 59. Cho hình bình hành \[ABCD\]. Đường tròn đi qua ba đỉnh \[A, B, C\] cắt đường thẳng \[CD\] tại \[P\] khác \[C\]. Chứng minh \[AP = AD\]
Hướng dẫn giải:
Do tứ giác \[ABCP\] nội tiếp nên ta có:
\[\widehat{BAP}\] + \[\widehat{BCP}\] = \[180^0\] [1]
Ta lại có: \[\widehat{ABC}\]+ \[\widehat{BCP}\] = \[180^0\] [2]
[hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \[CB\] và \[AB // CD\]]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat{BAP}\] = \[\widehat{ABC}\]
Vậy \[ABCP\] là hình thang cân, suy ra \[AP = BC\] [3]
nhưng \[BC = AD\] [hai cạnh đối đỉnh của hình bình hành] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[AP = AD\].
Bài 60 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 60. Xem hình 48. Chứng minh \[QR // ST\].
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu như hình vẽ.
Ta có tứ giác \[ISTM\] nội tiếp đường tròn nên:
\[\widehat{S_{1}}\] + \[\widehat{M}\] =\[180^0\]
Mà \[\widehat{M_{1}}\] + \[\widehat{M_{3}}\] = \[180^0\][kề bù]
nên suy ra \[\widehat{S_{1}}\] = \[\widehat{M_{3}}\] [1]
Tương tự từ các tứ giác nội tiếp \[IMPN\] và \[INQS\] ta được
\[\widehat{M_{3}}\] = \[\widehat{N_{4}}\] [2]
\[\widehat{N_{4}}\] = \[\widehat{R_{2}}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra \[\widehat{S_{1}}\] = \[\widehat{R_{2}}\] [hai góc ở vị trí so le trong].
Do đó \[QR // ST\]
Giaibaitap.me
Page 18
Bài 61 trang 91 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 61.
a] Vẽ đường tròn tâm \[O\], bán kính \[2cm\].
b] Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn \[[O]\] ở câu a]
c] Tính bán kính \[r\] của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b] rồi vẽ đường tròn \[[O;r]\].
Hướng dẫn giải:
a] Chọn điểm \[O\] làm tâm , mở compa có độ dài \[2cm\] vẽ đường tròn tâm \[O\], bán kính \[2cm\]: \[[O; 2cm]\]
Vẽ bằng eke và thước thẳng.
b] Vẽ đường kính \[AC\] và \[BD\] vuông góc với nhau. Nối \[A\] với \[B\], \[B\] với \[C\], \[C\] với \[D\], \[D\] với \[A\] ta được tứ giác \[ABCD\] là hình vuông nội tiếp đường tròn \[[O;2cm]\]
c] Vẽ \[OH \bot AD\]
\[OH\] là bán kính \[r\] của đường tròn nội tiếp hình vuông \[ABCD\].
\[r = OH = AH\].
\[{r^2} + {r^2} = O{A^2} = {2^2} \Rightarrow 2{r^2} = 4 \Rightarrow r = \sqrt 2 [cm]\]
Vẽ đường tròn \[[O;\sqrt2cm]\]. Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh
Bài 62 trang 91 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 62.
a] Vẽ tam giác \[ABC\] cạnh \[a = 3cm\].
b] Vẽ đường tròn \[[O;R]\] ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\]. Tính \[R\].
c] Vẽ đường tròn \[[O;r]\] nội tiếp tam giác đều \[ABC\]. Tính \[r\].
d] Vẽ tiếp tam giác đều \[IJK\] ngoại tiếp đường tròn \[[O;R]\].
Hướng dẫn giải:
a] Vẽ tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[3cm\] [dùng thước có chia khoảng và compa]
b] Tâm \[O\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\] là giao điểm của ba đường trung trực [đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều \[ABC\]].
Ta có: \[R= OA =\] \[\frac{2}{3}\]\[AA'\] = \[\frac{2}{3}\]. \[\frac{AB\sqrt{3}}{2}\] = \[\frac{2}{3}\] . \[\frac{3\sqrt{3}}{2}\] = \[\sqrt3 [cm]\].
c] Đường tròn nội tiếp \[[O;r]\] tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều \[ABC\] tại các trung điểm \[A', B', C'\] của các cạnh.
\[r = OA' = \]\[\frac{1}{3}\]\[ AA'\] =\[\frac{1}{3}\] \[\frac{3\sqrt{3}}{2}\] = \[\frac{\sqrt{3}}{2}[cm]\]
d] Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn \[[O;R]\] tại \[A,B,C\]. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại \[I, J, K\]. Ta có \[∆IJK\] là tam giác đều ngoại tiếp \[[O;R]\].
Bài 63 trang 92 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 63. Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn \[[O;R]\] rồi tính cạnh của các hình đó theo \[R\].
Hướng dẫn giải:
Hình a.
Gọi \[{a_i}\] là cạnh của đa giác đều i cạnh.
a] \[{a_6}= R\] [vì \[O{A_1}{A_2}\] là tam giác đều]
Cách vẽ: vẽ đường tròn \[[O;R]\]. Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung \[\overparen{{A_1}{A_2}}\], \[\overparen{{A_2}{A_3}}\],...,\[\overparen{{A_6}{A_1}}\] mà căng cung có độ dài bằng \[R\]. Nối \[{A_1}\] với \[{A_2}\], \[{A_2}\] với \[{A_3}\],…, \[{A_6}\] với \[{A_1}\] ta được hình lục giác đều \[{A_1}\]\[{A_2}\]\[{A_3}\]\[{A_4}\]\[{A_5}\]\[{A_6}\] nội tiếp đường tròn
b] Hình b
Trong tam giác vuông \[O{A_1}{A_2}\]: \[{a^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 2 \]
Cách vẽ như ở bài tập 61.
c] Hình c
\[{A_1}H\] =\[ R\] +\[\frac{R}{2}\] = \[\frac{3R}{2}\]
\[{A_3}H\] = \[\frac{a}{2}\]
\[{A_1}\]\[{A_3}\]= \[a\]
Trong tam giác vuông \[{A_1}H{A_3}\] ta có: \[{A_1}{H^2} = {A_1}{A_3}^2 - {A_3}{H^2}\].
Từ đó \[\frac{9R^{2}}{4}\] = \[a^2\] - \[\frac{a^{2}}{4}\].
\[\Rightarrow{a^2} = 3{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 3 \]
Cách vẽ như câu a] hình a.
Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác \[{A_1}{A_3}{A_5}\] như trên hình c
Bài 64 trang 92 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 64.Trên đường tròn bán kính \[R\] lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \[A\], ba cung \[\overparen{AB}\], \[\overparen{BC}\], \[\overparen{CD}\] sao cho: \[sđ\overparen{AB}\]=\[60^0\], \[sđ\overparen{BC}\]=\[90^0\], \[sđ\overparen{CD}\]=\[120^0\]
a] Tứ giác \[ABCD\] là hình gì?
b] Chứng minh hai đường chéo của tứ giác \[ABCD\] vuông góc với nhau.
c] Tính độ dài các cạnh của tứ giác \[ABCD\] theo \[R\].
Hướng dẫn giải:
\[\widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\] [góc nội tiếp chắn \[\overparen{BCD}\]] [1]
\[\widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\] [ góc nội tiếp chắn\[\overparen{ABC}\] ] [2]
Từ [1] và [2] có:
\[\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\] [3]
\[\widehat {BA{\rm{D}}}\] và \[\widehat {A{\rm{D}}C}\] là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \[AD\] và hai đường thẳng \[AB, CD\].
Đẳng thức [3] chứng tỏ \[AB // CD\]. Do đó tứ giác \[ABCD\] là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân.
Vậy \[ABCD\] là hình thang cân [\[BC = AD\] và \[sđ\overparen{BC}\]=\[sđ\overparen{AD}\]=\[90^0\]]
b] Giả sử hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[I\].
\[\widehat {CI{\rm{D}}}\] là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:
\[\widehat {CI{\rm{D}}}\] = \[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\]=\[{{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\]
Vậy \[AC \bot BD\]
c]
Vì \[sđ\overparen{AB}\] = \[60^0\] nên \[\widehat {AIB} = {60^0}\] \[=> ∆AIB\] đều, nên \[AB = R\]
Vì \[sđ\overparen{BC}\]= \[90^0\] nên \[BC = R\sqrt2\]
\[ AD = BC = R\sqrt2\]
nên \[sđ\overparen{CD}\]= \[120^0\] nên \[CD = R\sqrt3\]
Giaibaitap.me
Page 19
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 20
Bài 69 trang 95 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 69. Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính \[1,672 m\] và bánh xe trước có đường kính là \[88cm\]. Hỏi khi bánh xe sau lăn được \[10\] vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Hướng dẫn giải:
Chu vi bánh xe sau: \[π. 1,672\] [m]
Chu vi bánh xe trước: \[π . 0,88\] [m]
Khi bánh xe sau lăn được \[10\] vòng thì quãng đường đi được là:
\[π . 16,72\] [m]
Khi đó số vòng lăn của bánh xe trước là:
\[\frac{\pi .16,72}{\pi .0,88}\] = \[19\] vòng
Bài 70 trang 95 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 70. Vẽ lại ba hình [tạo bởi các cung tròn] dưới đây và tính chu vi mỗi hình [có gạch chéo]
Hướng dẫn giải:
Cách vẽ:
- Hình 13: Vẽ hình vuông \[ABCD\] cạnh \[4 cm\]. Vẽ hai đường trung trực của các cạnh hình vuông, chúng cắt nhau tại \[O\].
Lấy \[O\] làm tâm vẽ đường tròn bán kính \[2cm\] ta được hình a.
- Hình 14: Vẽ hình vuông như hình a. Lấy \[O\] làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kính \[2 cm\] tiếp xúc với các cạnh \[AB, AD, BC\]. Lấy \[C, D\] làm tâm vẽ cung phần tư đường tròn về phía trong hình vuông các cung tròn đã vẽ tạo nên hình b .
- Hình 15: Vẽ hình vuông như hình a. Lấy \[A,B,C,D\] làm tâm vẽ về phía trong hình vuông bốn cung tròn, mỗi cung là phần tư đường tròn. Bốn cung này tạo nên hình c.
Tính chu vi mỗi hình:
- Hình 13: Đường kính đường tròn này là \[4 cm\].
Vậy hình tròn có chu vi là: \[3,14 . 4 = 12,56\] \[[cm]\].
- Hình 14: Hình tròn gồnm hai cung: một cung là nửa đường tròn, hai cung có mỗi cung là phần tư đường tròn nên chu vi hình bằng chu vi của hình tròn ở hình a, tức là \[12,56\] \[cm\].
- Hình 15: Hình gồm bốn cung tròn với mỗi cung tròn là phần tư đường tròn nên chu vi hình bằng chu vi hình tròn ở hình a tức là \[12,56 cm\].
Bài 71 trang 96 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 71. Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là \[B, C, D, A\] theo đúng kích thước đã cho [hình vuông \[ABCD\] dài \[1cm\] ]. Nếu cách vẽ đường xoắn \[AEFGH\]. Tính độ dài đường xoắn đó.
Hướng dẫn giải:
Cách vẽ: Vẽ hình vuông \[ABCD\] có cạnh dài \[1cm\].
Vẽ \[\frac{1}{4}\] đường tròn tâm \[B\], bán kính \[1\] cm, ta có cung \[\overparen{AE}\]
Vẽ \[\frac{1}{4}\] đường tròn tâm C, bán kính 2 cm, ta có cung \[\overparen{EF}\]
Vẽ \[\frac{1}{4}\] đường tròn tâm D, bán kính 3 cm, ta có cung \[\overparen{FG}\]
Vẽ \[\frac{1}{4}\] đường tròn tâm A, bán kính 4 cm, ta có cung \[\overparen{GH}\]
Độ dài đường xoắn:
\[{l_\overparen{AE}}\]= \[\frac{1}{4}\] . \[2π.1\]
\[{l_\overparen{EF}}\]= \[\frac{1}{4}\] . \[2π.2\]
\[{l_\overparen{FG}}\]= \[\frac{1}{4}\] . \[2π.3\]
\[{l_\overparen{GH}}\]= \[\frac{1}{4}\] . \[2π.4\]
Vậy: Độ dài đường xoắn là:
\[{l_\overparen{AE}}\]+\[{l_\overparen{EF}}\]+\[{l_\overparen{FG}}\]+\[{l_\overparen{GH}}\]= \[\frac{1}{4}\] .\[ 2π [1+2+3+4] = 5π\]
Bài 72 trang 96 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 72. Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là \[540mm\]. Dây cua-roa bao bánh xe theo cung \[AB\] có độ dài \[200mm\]. Tính góc \[AOB\] [h.56]
Hướng dẫn giải:
\[360^0\] ứng với \[540mm\].
\[x^0\] ứng với \[200mm\].
\[x\] = \[\frac{360. 200}{540}\] \[≈ 133^0\]
Vậy \[sđ\overparen{AB} ≈ 133^0\], suy ra \[\widehat{AOB}\] \[≈ 133^0\]
Giaibaitap.me
Page 21
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 22
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 23
Bài 84 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 84. a] Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh \[C\] của tam giác đều \[ABC\] cạnh \[1 cm\]. Nêu cách vẽ [h.63].
b] Tính diện tích miền gạch sọc.
Hướng dẫn giải:
a] Vẽ tam giác đều \[ABC\] cạnh \[1cm\]
Vẽ \[\frac{1}{3}\] đường tròn tâm \[A\], bán kính \[1cm\], ta được cung \[\overparen{CD}\]
Vẽ \[\frac{1}{3}\] đường tròn tâm \[B\], bán kính \[2cm\], ta được cung \[\overparen{DE}\]
Vẽ \[\frac{1}{3}\] đường tròn tâm \[C\], bán kính \[3cm\], ta được cung \[\overparen{EF}\]
b] Diện tích hình quạt \[CAD\] là \[\frac{1}{3}\] \[π.1^2\]
Diện tích hình quạt \[DBE\] là \[\frac{1}{3}\] \[π.2^2\]
Diện tích hình quạt \[ECF\] là \[\frac{1}{3}\] \[π.3^2\]
Diện tích phần gạch sọc là \[\frac{1}{3}\] \[π.1^2\]+ \[\frac{1}{3}\] \[π.2^2\] + \[\frac{1}{3}\] \[π.3^2\]
= \[\frac{1}{3}\] \[π [1^2 + 2^2 + 3^2]\] = \[\frac{14}{3}π\] [\[cm^2\]]
Bài 85 trang 100 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 85. Hình viên phân là hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân \[AmB\], biết góc ở tâm \[\widehat {AOB} = {60^0}\] và bán kính đường tròn là \[5,1 cm\] [h.64]
Hướng dẫn giải:
\[∆OAB\] là tam giác đều có cạnh bằng \[R = 5,1cm\]. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh \[a\] là \[{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\] ta có
\[{S_{\Delta OBC}} = {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}\] [1]
Diện tích hình quạt tròn \[AOB\] là:
\[{{\pi .{R^2}{{.60}^0}} \over {{{360}^0}}} = {{\pi {R^2}} \over 6}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra diện tích hình viên phân là:
\[{{\pi {R^2}} \over 6} - {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4} = {R^2}\left[ {{\pi \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 4}} \right]\]
Thay \[R = 5,1\] ta có \[S\]viên phân ≈\[ 2,4\] [\[cm^2\]]
Bài 86 trang 100 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 86. Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm [h.65].
a] Tính diện tích \[S\] của hình vành khăn theo \[{R_1}\] và \[{R_2}\] [giả sử \[{R_1}>{R_2}\]].
b] Tính diện tích hình vành khăn khi \[{R_1} = 10,5 cm\], \[{R_2} = 7,8 cm\].
Hướng dẫn giải:
a] Diện tích hình tròn \[[O;{R_1}]\] là \[{S_1 }\]=\[ \pi{R_1}^2\].
Diện tích hình tròn \[[O;{R_2}]\] là \[{S_2 }\]=\[ \pi{R_2}^2\].
Diện tích hình vành khăn là:
\[S = {S_1}– {S_2}\] = \[ \pi{R_1}^2\]-\[ \pi{R_2}^2\]= \[ \pi[{R_1}^2-{R_2}^2]\]
b] Thay số: \[S = 3,14. [10,5^2 – 7,8^2] = 155,1\][\[cm^2\]]
Bài 87 trang 100 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 87. Lấy cạnh \[BC\] của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng \[BC\]. Cho biết cạnh \[BC = a\], hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành.
Hướng dẫn giải:
Gọi nửa đường tròn tâm \[O\] đường kính \[BC\] cắt hai cạnh \[AB\] và \[AC\] lần lượt tại \[M\] và \[N\].
\[∆ONC\] có \[OC = ON\], \[\widehat{C}\] = \[60^0\] nên \[∆ONC\] là tam giác đều, do đó \[\widehat{NOC}\] = \[60^0\].
\[S\]quạt NOC = \[\frac{\pi \left [ \frac{a}{2} \right ]^{2}.60^{\circ}}{360^{\circ}}\] = \[\frac{\pi a^{2}}{24}\].
\[S\]∆NOC = \[\frac{\left [ \frac{a}{2} \right ]^{2}\sqrt{3}}{4}\] = \[\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}\]
Diện tích hình viên phân:
\[S\]CpN = \[\frac{\pi a^{2}}{24}\] - \[\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}\] = \[\frac{a^{2}}{48}\left [ 2\pi -3\sqrt{3} \right ]\]
Vậy diện tích hình viên phhân bên ngoài tam giác là:
\[\frac{a^{2}}{24}\left [ 2\pi -3\sqrt{3} \right ]\]
Giaibaitap.me
Page 24
Bài 81 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 81. Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a] Bán kính tăng gấp đôi?
b] Bám kinh tăng gấp ba?
c] Bán kính tăng \[k\] lần [\[k>1\]]?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[π{[2R]}^2 = 4πR^2\]
\[π{[3R]}^2 = 9 πR^2\]
\[π[kR]^2 = k^2 πR^2\]
Vậy nếu ta gấp đôi bán kính thì diện tích hình tròn sẽ gấp bốn, nếu nhân bán kính với \[k > 0\] thì diện tích hình tròn sẽ gấp \[k^2\] lần.
Bài 82 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 82. Điền vào ô trống trong bảng sau [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất]
Giải
- Dòng thứ nhất:
\[ R\] = \[\frac{C}{2\pi }\] = \[\frac{13,2}{2. 3,14 }\] \[≈ 2,1\] [\[cm\]]
\[S = π. R^2 = 3,14.{[2,1]}^2 ≈ 13,8 \][\[cm^2\]]
\[{R_{quạt}}\]= \[\frac{\pi R^{2}n^{\circ}}{360^{\circ}}\] = \[\frac{3,14 .2,1^{2}.47,5}{360}\] \[≈ 1,83\] [\[cm^2\]]
- Dòng thứ hai: \[C = 2πR = 2. 3,14. 2,5 = 15,7\] [cm]
\[S = π. R^2 = 3,14.{[2,5]}^2 ≈ 19,6\] [\[cm^2\]]
\[n^0\] = \[\frac{S_{quat}.360^{\circ}}{\pi R^{2}}\] = \[\frac{12,5.360^{\circ}}{3,14.2,5^{2}}\] \[≈ 229,3^0\]
- Dòng thứ ba: \[R\] = \[\sqrt{\frac{s}{\pi }}\] = \[\sqrt{\frac{37,8}{3,14 }}\] \[≈ 3,5\] [\[cm\]]
\[C = 2πR = 22\] [\[cm\]]
\[n^0\] = \[\frac{S_{quat}.360^{\circ}}{\pi R^{2}}\]= \[\frac{10,6.360^{\circ}}{3,14.3,5^{2}}\] \[≈ 99,2^0\]
Điền vào các ô trống ta được các bảng sau:
Bài 83 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 83. a] Vẽ hình 62 [tạo bởi các cung tròn] với \[HI = 10cm\] và \[HO = 2cm\]. Nêu cách vẽ.
b] Tính diện tích hình \[HOABINH\] [miền gạch sọc]
c] Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính \[NA\] có cùng diện tích với hình \[HOABINH\] đó.
Hướng dẫn giải:
a] Vẽ nửa đường tròn đường kính \[HI = 10 cm\], tâm \[M\]
Trên đường kính \[HI\] lấy điểm \[O\] và điểm \[B\] sao cho \[HO = BI = 2cm\].
Vẽ hai nửa đường tròn đường kính \[HO\], \[BI\] nằm cùng phía với đường tròn \[[M]\].
vẽ nửa đường tròn đường kính \[OB\] nằm khác phía đối với đường tròn \[[M]\]. Đường thẳng vuông góc với \[HI\] tại \[M\] cắt \[[M]\] tại \[N\] và cắt đường tròn đường kính \[OB\] tại \[A\].
b] Diện tích hình \[HOABINH\] là:
\[\frac{1}{2}\].\[π.5^2\] + \[\frac{1}{2}\].\[π.3^2\] – \[π.1^2\] = \[\frac{25}{2}π\] + \[\frac{9}{2}π\] - \[π\] = \[16π\] [\[cm^2\]] [1]
c] Diện tích hình tròn đường kính \[NA\] bằng:
\[π. 4^2 = 16π\] [\[cm^2\]] [2]
So sánh [1] và [2] ta thấy hình tròn đường kính \[NA\] có cùng diện tích với hình \[HOABINH\]
Giaibaitap.me
Page 25
Bài 88 trang 103 SGK Toán 9 tập 2
Bài 88. Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:
[Ví dụ. góc trên hình 66b] là góc nội tiếp].
Hướng dẫn làm bài:
a] Góc ở tâm.
b] Góc nội tiếp.
c] Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
d] Góc có đỉnh bên trong đường tròn.
e] Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.
Bài 89 trang 104 SGK Toán 9 tập 2
Bài 89. Trong hình 67, cung \[AmB\] có số đo là \[66^0\]. Hãy:
a] Vẽ góc ở tâm chắn cung \[AmB\]. Tính góc \[AOB\].
b] Vẽ góc nội tiếp đỉnh \[C\] chắn cung \[AmB\]. Tính góc \[ACB\].
c] Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến \[Bt\] và dây cung \[BA\]. Tính góc \[ABt\].
d] Vẽ góc \[ADB\] có đỉnh \[D\] ở bên trong đường tròn. So sánh \[\widehat {A{\rm{D}}B}\] với \[\widehat {ACB}\] .
e] Vẽ góc \[AEB\] có đỉnh \[E\] ở bên ngoài đường tròn [\[E\] và \[C\] cùng phía đối với \[AB\]]. So sánh \[\widehat {A{\rm{E}}B}\] với \[\widehat {ACB}\]
Hướng dẫn trả lời:
a] Từ \[O\] nối với hai đầu mút của cung \[AB\]
Ta có \[\widehat {AOB}\] là góc ở tâm chắn cung \[AB\]
Vì \[\widehat {AOB}\] là góc ở tân chắn cung \[AB\] nên
\[\widehat {AOB}\] =\[sđ\overparen{AmB}=60^0\]
b] Lấy một điểm \[C\] bất kì trên \[[O]\]. Nối \[C\] với hai đầu mút của cung \[AmB\]. Ta được góc nội tiếp \[\widehat {ACB}\]
Khi đó: \[\widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB}={1 \over 2}{60^0} = 30\]
c] Vẽ bán kính \[OB\]. Qua \[B\] vẽ \[Bt\bot OB\]. Ta được góc \[ABt\] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến \[Bt\] với dây cung \[BA\].
Ta có: \[\widehat {ABt} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB} = {30^0}\]
d] Lấy điểm \[D\] bất kì ở bên trong đường tròn \[[O]\]. Nối \[D\] với \[A\] và \[D\] với \[B\]. ta được góc là góc ở bên trong đường tròn \[[O]\]
Ta có:
\[\eqalign{ & \widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB}\cr
& \widehat {A{\rm{D}}B} = {1 \over 2}\left[ sđ\overparen{AmB}+ sđ\overparen{CK} \right] \cr} \]
Mà \[sđ\overparen{AmB}+sđ\overparen{CK}>sđ\overparen{AmB}\][do \[sđ\overparen{CK}>0\]] nên \[\widehat {A{\rm{D}}B} > \widehat {ACB}\]
e] Lấy điểm \[E\] bất kì ở bên ngoài đường tròn, nối \[E\] với \[A\] và \[E\] với \[B\], chúng cắt đường tròn lần lượt tại \[J\] và \[I\].
Ta có góc \[AEB\] là góc ở bên ngoài đường tròn \[[O]\]
Có:
\[\eqalign{ & \widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB} \cr
& \widehat {A{\rm{E}}B} = {1 \over 2}\left[ sđ\overparen{AmB} - sđ\overparen{IJ} \right] \cr}\]
Mà \[sđ\overparen{AmB}\]– \[sđ \overparen{IJ}< sđ\overparen{AmB}\] [do \[sđ\overparen{IJ}> 0\]]
Nên \[\widehat {A{\rm{E}}B} < \widehat {ACB}\].
Bài 90 trang 104 SGK Toán 9 tập 2
Bài 90.
a] Vẽ hình vuông cạnh \[4cm\].
b] Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \[R\] của đường tròn này.
c] Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \[r\] của đường tròn này.
Hướng dẫn trả lời:
a] Dùng êke ta vẽ hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng \[4cm\] như sau:
- Vẽ \[AB = 4cm\].
- Vẽ \[BC \bot AB\] và \[BC = 4cm\]
- Vẽ \[DC\bot BC\] và \[DC = 4cm\]
- Nối \[D\] với \[A\], ta có \[AD\bot DC\] và \[AD = 4cm\]
b] Tam giác \[ABC\] là tam giác vuông cân nên \[AB = BC\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[ABC\], ta có:
\[\eqalign{ & A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{\rm{A}}{B^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {2.4^2} = 32 \cr
& \Rightarrow AC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \cr}\]
Vậy \[AO = R = {{AC} \over 2} = {{4\sqrt 2 } \over 2} = 2\sqrt 2 \]
Vậy \[R = 2\sqrt{2}\] \[cm\]
c] Vẽ \[OH \bot DC\]. Vẽ đường tròn tâm \[O\], bán kính \[OH\]. Đó là đường tròn nội tiếp hình vuông \[ABCD\]
Ta có: \[OH = {{A{\rm{D}}} \over 2} = 2[cm]\]
Vậy \[r = OH = 2cm\]
Bài 91 trang 104 SGK Toán 9 tập 2
Bài 91. Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính \[R = 2cm\], góc \[AOB = 75^0\].
a] Tính số đo cung \[ApB\].
b] Tính độ dài hai cung \[AqB\] và \[ApB\].
c] Tính diện tích hình quạt tròn \[OAqB\]
Hướng dẫn trả lời:
a] Ta có \[\widehat {AOB}\] là góc nội tiếp chắn cung \[AqB\] nên:
\[\widehat {AOB}\] = \[sđ\overparen{AqB}\] hay \[sđ\overparen{AqB}=75^0\]
Vậy \[sđ\overparen{ApB}\]= \[360°- \overparen{AqB}\] = \[360^0 - 75^0 = 285^0\]
b] \[{l_{\overparen{AqB}}}\] là độ dài cung \[AqB\], ta có:
\[{l_{\overparen{AqB}}}\] = \[{{\pi Rn} \over {180}} = {{\pi .2.75} \over {180}} = {5 \over 6}\pi [cm]\]
Gọi \[{l_{\overparen{ApB}}}\] là độ dài cung \[ApB\] ta có:
\[{l_{\overparen{ApB}}} = {{\pi Rn} \over {180}} = {{\pi .2.285} \over {180}} = {{19\pi } \over 6}[cm]\]
c] Diện tích hình quạt tròn \[OAqB\] là: \[{S_{OAqB}} = {{\pi {R^2}n} \over {360}} = {{\pi {2^2}.75} \over {360}} = {{5\pi } \over 6}[c{m^2}]\]
Giaibaitap.me
Page 26
Bài 92 trang 104 SGK Toán 9 tập 2
Bài 92. Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 [đơn vị độ dài: cm].
Hướng dẫn trả lời:
a] Hình 69
Đối với hình tròn bán kính \[R= 1,5\] là: \[{S_1} = πR^2 = π. 1,5^2 = 2,25π\]
Đối với hình tròn bán kính \[r = 1\] là: \[{S_2} = πr^2= π. 1^2 = π\]
Vậy diện tích miền gạch sọc là:
\[S = {S_1} – {S_2} = 2,25 π – π = 1,25 π\] [đvdt]
b] Hình 70
Diện tích hình quạt có bán kính \[R = 1,5\]; \[n^0 = 80^0\]
\[{S_1} = {{\pi {R^2}n} \over {360}} = {{\pi 1,{5^2}.80} \over {360}} = {\pi \over 2}\]
Diện tích hình quạt có bán kính \[r = 1\]; \[n^0 = 80^0\]
\[{S_2} = {{\pi {r^2}n} \over {360}} = {{\pi {{.1}^2}.80} \over {360}} = {{2\pi } \over 9}\]
Vậy diện tích miền gạch sọc là: \[S = {S_1} - {S_2} = {\pi \over 2} - {{2\pi } \over 9} = {{9\pi - 4\pi } \over {18}} = {{5\pi } \over {18}}\]
c] Hình 71
Diện tích hình vuông cạnh \[a = 3\] là:
\[{S_1} = a^2 = 3^2 =9\]
Diện tích hình tròn có \[R = 1,5\] là:
\[{S_2} = πR^2 = π.1,5^2 = 2,25π = 7,06\]
Vậy diện tích miền gạch sọc là:
\[S = {S_1} – {S_2} = 9 – 7,06 = 1,94\] [đvdt].
Bài 93 trang 104 SGK Toán 9 tập 2
Bài 93. Có ba bánh xe răng cưa \[A, B, C\] cùng chuyển độn ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe \[A\] có \[60\] răng, bánh xe B có \[40\] răng, bánh xe \[C\] có \[20\] răng. Biết bán kính bánh xe \[C\] là \[1\]cm. Hỏi:
a] Khi bánh xe \[C\] quay \[60\] vòng thì bánh xe \[B\] quay mấy vòng?
b] Khi bánh xe \[A\] quay \[80\] vòng thì bánh xe \[B\] quay mấy vòng?
c] Bán kính của các bánh xe \[A\] và \[B\] là bao nhiêu?
Hướng dẫn trả lời:
Ta có bánh xe \[A\] có \[60\] răng, bánh xe \[B\] có \[40\] răng, bánh xe \[C\] có \[20\] răng nên suy ra chu vi của bánh xe \[B\] gấp đôi chu vi bánh xe \[C\], chu vi bánh xe \[A\] gấp ba chu vi bánh xe \[C\].
Chu vi bánh xe \[C\] là: \[2. 3,14 . 1 = 6,28 [cm]\]
Chu vi bánh xe \[B\] là: \[6,28 . 2 = 12,56 [cm]\]
Chu vi bánh xe \[A\] là: \[6,28 . 3 = 18,84 [cm]\]
a] Khi bánh xe \[C\] quay được \[60\] vòng thì quãng đường đi được là:
\[60 . 6,28 = 376,8 [cm]\]
Khi đó số vòng quay của bánh xe \[B\] là:
\[376,8 : 12,56 = 30\] [vòng]
b] Khi bánh xe \[A\] quay được \[80\] vòng thì quãng đường đi được là:
\[80 . 18,84 = 1507,2\] [cm]
Khi đó số vòng quay của bánh xe \[B\] là:
\[1507,2 : 12,56 = 120\] [vòng]
c] Bán kính bánh xe \[B\] là: \[12,56 : [2π] = 12,56 : 6,28 = 2[cm]\]
Bán kính bánh xe \[A\] là: \[18,84 : [2π] = 18,84 : 6,28 = 3[cm]\]
Bài 94 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 94. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú [h.72]. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a] Có phải \[{1 \over 2}\] số học sinh lầ học sinh ngoại trú không?
b] Có phải \[{1 \over 3}\] số học sinh là học sinh bán trú không?
c] Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
d] Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là \[1800\] em.
Hướng dẫn trả lời:
Theo cách biểu diễn dự phân phối học sinh như biểu đồ thì:
a] Đúng \[\left[ {{1 \over 2} = 50\% } \right]\]
b] Đúng \[\left[ {{1 \over 3} \approx 33,3\% } \right]\]
c] Số học sinh nội trú chiếm \[100\]% - [\[50\]% + \[33,3\]%] = \[16,7\]%
d] Số học sinh ngoại trú:
\[1800.{1 \over 2} = 900\] [em]
Số học sinh bán trú:
\[1800.{1 \over 3} =600\][em]
Số học sinh nội trú:
\[1800 – [900 + 600] = 300\] [em]
Bài 95 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 95. Các đường cao hạ từ \[A\] và \[B\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\] [góc \[C\] khác \[90^0\]] và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] lần lượt tại \[D\] và \[E\]. Chứng minh rằng:
a] \[CD = CE\] ; b] \[ΔBHD\] cân ; c] \[CD = CH\].
Hướng dẫn trả lời:
Ta có: \[\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\] [cùng chắn cung \[AB\]]
\[ \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\] [cùng phụ với hai góc bằng nhau]
⇒ \[sđ\overparen{CD}\]= \[sđ\overparen{CE}\]
Suy ra \[CD = CE\]
b] Ta có \[\widehat {EBC}\] và \[\widehat {CB{\rm{D}}}\] là góc nội tiếp trong đường tròn \[O\] nên :
\[\widehat {EBC} = {1 \over 2} sđ\overparen{CE}\] và \[\widehat {CB{\rm{D}}} = {1 \over 2}sđ\overparen{CD}\]
Mà \[sđ\overparen{CD}\]= \[sđ\overparen{CE}\]
nên \[\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\]
Vậy \[∆BHD\] cân tại \[B\]
c] Vì \[∆BHD\] cân và \[BK\] là đường cao cũng là đường trung trực của \[HD\]. Điểm \[C\] nằm trên đường trung trực của \[HD\] nên \[CH = CD\]
Giaibaitap.me