Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào cho ta phương trình tương đương, phép biến đổi nào không cho ta phương trình tương đương ? - câu 3.4 trang 58 sbt đại số 10 nâng cao

Câu a

a. Lược bỏ số hạng \(\dfrac{7}{{x - 1}}\) ở cả hai vế của phương trình

\({x^2} + 1 + \dfrac{7}{{x - 1}} = 2x + \dfrac{7}{{x - 1}}\)

Phương pháp giải:

hai phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a. Không vì:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 1 + \frac{7}{{x - 1}} = 2x + \frac{7}{{x - 1}}\;\quad (1)\quad \text{ĐKXĐ}:x \ne 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 1 = 2x\\
x \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x + 1 = 0\\
x \ne 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
x \ne 1
\end{array} \right.\quad \text{Vô lí}\\
\text{Vậy phương trình (1) vô nghiệm.}
\end{array}\)

Còn phương trình:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 1 = 2x\quad (1')\quad {\rm{TXĐ}}:R\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1\\
\text{Vậy phương trình có nghiệm duy nhất} x = 1
\end{array}\)

Hiển nhiên tập nghiêm của hai phương trình khác nhau nên chúng không tương đương.

Câu b

b. Lược bỏ số hạng \(\dfrac{5}{{x - 2}}\) ở cả hai vế của phương trình

\({x^2} + 1 + \dfrac{5}{{x - 2}} = 2x + \dfrac{5}{{x - 2}}\)

Phương pháp giải:

Hai phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Lời giải chi tiết:

b. Có

Giải 2 phương trình ta đều có tập nghiệm là \(S={1}\)

Vậy nên 2 phương trình là tương đương.

Câu c

c. Thay thế \({\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^2}\) bởi 2x 1 trong phương trình

\({\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^2} = 3x + 2\)

Phương pháp giải:

So sánh tập nghiệm của hai phương trình

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^2} = 3x + 2\quad \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 = 3x + 2\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 3\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right.\quad (\text{Vô lí})\\
\text{Vậy phương trình vô nghiệm}
\end{array}\)

Còn phương trình\(2x - 1 = 3x + 2\) có nghiệm duy nhất là\(x = - 3\)

Vây 2 phương trình có tập nghiệm khác nhau nên chúng không tương đương.

Câu d

d. Chia cả hai vế của phương trình \(x + 3 = {x^2} + 3\) cho x

Phương pháp giải:

So sánh tập nghiệm của hai phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x + 3 = {x^2} + 3\\
\Leftrightarrow x = {x^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm \( x=1 hoặc x= 0\)

Còn phương trình\(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{{{x^2} + 3}}{x}\) chỉ có nghiệm duy nhất \(x =1\)

Vậy hai phương trình không tương đương do tập nghiệm là khác nhau.

Câu e

e. Nhân cả hai vế của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{x} = 2 + \dfrac{1}{x}\) với x.

Lời giải chi tiết:

Nhân cả hai vế của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{x} = 2 + \dfrac{1}{x}\) với x ta được pt:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 1 = 2x + 1\\
\Leftrightarrow {x^2} = 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

còn phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất \(x=2\)

Vậy hai phương trình này không tương đương.