Khi giải các bài toán của lý thuyết xác suất ta thường phải diễn tả một biến cố phức hợp theo các biến cố đơn giản hơn. Để làm được điều đó ta cần nghiên cứu mối quan hệ giữa các biến cố thể hiện qua các định nghĩa dưới đây:
Định nghĩa 1: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu là \[A \subset B\], nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.
Thí dụ: Tung một con súc sắc, gọi A là biến cố súc sắc ra mặt 2. B là biến cố súc sắc ra mặt chẵn, thì \[A \subset B\].
Định nghĩa 2: Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương, ký hiệu là A = B, nếu \[A \subset B\] và \[B \subset A\].
Xác suất của các biến cố tương đương thì bằng nhau. Tức là: nếu A = B thì:
P[A] = P[B]
P[A] là xác suất của biến cố A
Thí dụ: Tung một con súc sắc, biến cố “súc sắc ra mặt chẩn” và biến cố “súc sắc ra mặt 2 hoặc mặt 4 hoặc mặt 6” là hai biến cố tương đương.
Định nghĩa 3: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là \[A \cup B\] hoặc A + B, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một ưong hai biến cố A, B xảy ra.
Tổng quát: Tổng của n biến cố A1, A2, . . . , An là một biến cố, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố A1, A2,.... An xảy ra.
Để ký hiệu tổng của n biến cố ta có thể sử dụng các ký hiệu sau:
\[{A_1} \cup {A_2} \cup .... \cup {A_n},\,\,hay\,\,\bigcup\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \]
\[{A_1} + {A_2} + .... + {A_n},\,\,hay\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \]
Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia [mỗi xạ thủ bắn một viên đạn]. Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “bia trúng đạn”. Rõ ràng C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Vậy:
\[C = A \cup B\]
Định nghĩa 4: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là \[A \cap B\] hoặc AB, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra.
Tổng quát: Tích của n biến cố A1, A2, .. . An là một biến cố, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả n biến A1, A2,.. . An đều xảy ra.
Để ký hiệu tích của n biến cố ta có thể dùng các ký hiệu sau:
\[{A_1} \cap {A_2} \cap .... \cap {A_n},\,hay\,\,\bigcap\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \]
\[{A_1}{A_2}.....{A_n}\,hay\,\,\prod\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \]
Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia [mỗi xạ thủ bắn một viên đạn], Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trật”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật” và C là biến cố “bia không trúng đạn”. Ta thấy C là tích của A và B. Tức C = A.B
Định nghĩa 5: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra ưong một phép thử. Tức AB = \[\emptyset \]
Tổng quát: Các biến cố A1, A2, . . . , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai trong n biến cố này xung khắc với nhau.
Thí dụ: Khi kiểm tra 5 sản phẩm, biến cố “có 1 phế phẩm” và biến cố “có 2 phế phẩm” là các biến cố xung khắc.
Định nghĩa 6: Biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là \[\overline A \] , nếu A, \[\overline A \] xung khắc và \[A \cup \overline A = \Omega \]
Ta có thể định nghĩa biến cố đối lập cách khác như sau:
Biến cố “không xảy ra biến cố A” được gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là \[\overline A \]
Thí dụ: Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Biến cố “có ít nhất một sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm kiểm tra” và biến cố “không có sản phẩm tốt nào trong 3 sản phẩm kiểm tra” là hai biến cố đối lập nhau.
Biểu đồ Venn
Các tính chất:
Xét phép thử \[\tau \] có không gian mẫu \[\Omega \]; A, B, C là các biến cố:
- \[A \cup B = B \cup A\]
- \[A \cap B = B \cap A\]
- \[A \cup [B \cup C] = [A \cup B] \cup C = A \cup B \cup C\]
- \[A \cap [B \cap C] = [A \cap B] \cap C = A \cap B \cap C\]
- \[A \cup [B \cap C] = [A \cup B] \cap [A \cup C]\]
- \[A \cap [B \cup C] = [A \cap B] \cup [A \cap C]\]
- \[\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B \]
- \[\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B \]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
1. Định nghĩa
- Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là
- Biến cố đối của A: = Ω\A
- Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, nhưng hai biến cố xung khắc thì chưa chắc đã đối nhau.
Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường
A là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 10”
B là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 11”
Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc, nhưng A và B không phải là hai biến cố đối nhau.
2. Định lý
Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối là
P[] = 1 – P[A] [1]
Từ công thức [1], suy ra P[A] = 1 – P[].
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
Hướng dẫn
Gọi biến cố đối của biến cố A là
Khi đó : “Không lần nào xuất hiện mặt xấp”, có nghĩa là “Cả" ba lần gieo chỉ xuất hiện mặt ngửa”.
Ví dụ 2. Trong một túi có 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ, lấy ngẫu nhiên từ đó ra 2 viên bi. Khi đó xác suất để lấy được ít nhất một viên bi xanh là?
Hướng dẫn:
Số phần tử của không gian mẫu: |Ω| = C112 = 55.
Gọi A là biến cố: “Lấy được ít nhất một bi xanh”.
Khi đó, biến cố đối của A, : “Không lấy được viên bi xanh nào”, tức là 2 viên bi lấy ra đều màu đỏ.
Số phần tử của biến cố là: ||=C_6^2=15
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.