Trong điện toán, phép toán modulo là phép toán tìm số dư của phép chia 2 số [đôi khi được gọi là modulus].
Cho hai số dương, [số bị chia] a và [số chia] n, a modulo n [viết tắt là a mod n] là số dư của phép chia có dư Euclid của a cho n. Ví dụ, biểu thức "5 mod 2" bằng 1 vì 5 chia cho 2 có thương số là 2 là số dư là 1, trong khi "9 mod 3" bằng 0 do 9 chia 3 có thương số là 3 và số dư 0; không còn gì trong phép trừ của 9 cho 3 nhân 3. [Lưu ý rằng thực hiện phép chia bằng máy tính cầm tay sẽ không hiển thị kết quả giống như phép toán này; thương số sẽ được biểu diễn dưới dạng phần thập phân.]
Mặc dù thường được thực hiện khi a và n đều là số nguyên, nhiều hệ tính toán cho phép sử dụng các kiểu khác của toán học bằng số. Giới hạn của một modulo nguyên của n là tù 0 đến n − 1. [a mod 1 luôn bằng 0; a mod 0 là không xác định, có thể trả về lỗi chia cho số 0 trong nhiều ngôn ngữ lập trình.] Xem số học mô-đun để tìm các quy ước cũ hơn và liên quan được áp dụng trong lý thuyết số.
Khi hoặc a hoặc n là số âm, định nghĩa cơ bản bị phá vỡ và các ngôn ngữ lập trình khác nhau trong việc định nghĩa các kết quả này.
| ABAP | MOD | Luôn không âm |
| ActionScript | % | Số bị chia |
| Ada | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| ALGOL 68 | ÷×, mod | Luôn không âm |
| AMPL | mod | Số bị chia |
| APL | |[1] | Số chia |
| AppleScript | mod | Số bị chia |
| AutoLISP | [rem d n] | Số dư |
| AWK | % | Số bị chia |
| BASIC | Mod | Không xác định |
| bash | % | Số bị chia |
| bc | % | Số bị chia |
| C [ISO 1990] | % | Định nghĩa tùy thuộc cài đặt |
| div | ngôn ngữ lập trình | |
| C++ [ISO 1998] | % | Định nghĩa tùy thuộc cài đặt[1] |
| div | Số bị chia | |
| C [ISO 1999] | %, div | Số bị chia[2] |
| C++ [ISO 2011] | %, div | Số bị chia |
| C# | % | Số bị chia |
| Clarion | % | Số bị chia |
| Clojure | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| COBOL[2] | FUNCTION MOD | Số chia |
| CoffeeScript | % | Số bị chia |
| %% | Số chia[3] | |
| ColdFusion | %, MOD | Số bị chia |
| Common Lisp | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| Construct 2 | % | |
| D | % | Số bị chia[4] |
| Dart | % | Luôn không âm |
| remainder[] | Số bị chia | |
| Eiffel | \\ | |
| Erlang | rem | Số bị chia |
| Euphoria | mod | Số chia |
| remainder | Số bị chia | |
| F# | % | Số bị chia |
| FileMaker | Mod | Số chia |
| Forth | mod | tùy thuộc vào cài đặt |
| Fortran | mod | Số bị chia |
| modulo | Số chia | |
| Frink | mod | Số chia |
| GameMaker: Studio [GML] | mod, % | Số bị chia |
| GDScript | % | Số bị chia |
| Go | % | Số bị chia |
| Haskell | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| Haxe | % | Số bị chia |
| Kotlin | % | Số bị chia |
| J | |[3] | Số chia |
| Java | % | Số bị chia |
| Math.floorMod | Số chia | |
| JavaScript | % | Số bị chia |
| Julia | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| LabVIEW | mod | Số bị chia |
| LibreOffice | =MOD[] | Số chia |
| Lua 5 | % | Số chia |
| Lua 4 | mod[x,y] | Số chia |
| Liberty BASIC | MOD | Số bị chia |
| Mathcad | mod[x,y] | Số chia |
| Maple | e mod m | Luôn không âm |
| Mathematica | Mod[a, b] | Số chia |
| MATLAB | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| Maxima | mod | Số chia |
| remainder | Số bị chia | |
| Maya Embedded Language | % | Số bị chia |
| Microsoft Excel | =MOD[] | Số chia |
| Minitab | MOD | Số chia |
| mksh | % | Số bị chia |
| Modula-2 | MOD | Số chia |
| REM | Số bị chia | |
| MUMPS | # | Số chia |
| Netwide Assembler [NASM, NASMX] | % | toán tử modulo không dấu |
| %% | toán tử modulo có dấu | |
| Oberon | MOD | Số chia[4] |
| Object Pascal, Delphi | mod | Số bị chia |
| OCaml | mod | Số bị chia |
| Occam | \ | Số bị chia |
| Pascal [ISO-7185 and -10206] | mod | Luôn không âm |
| Perl | % | Số chia[5] |
| PHP | % | Số bị chia |
| PIC BASIC Pro | \\ | Số bị chia |
| PL/I | mod | Số chia [ANSI PL/I] |
| PowerShell | % | Số bị chia |
| Progress | modulo | Số bị chia |
| Prolog [ISO 1995] | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| PureBasic | %,Mod[x,y] | Số bị chia |
| Python | % | Số chia |
| math.fmod | Số bị chia | |
| Racket | remainder | Số bị chia |
| RealBasic | MOD | Số bị chia |
| R | %% | Số chia |
| Rexx | // | Số bị chia |
| RPG | %REM | Số bị chia |
| Ruby | %, modulo[] | Số chia |
| remainder[] | Số bị chia | |
| Rust | % | Số bị chia |
| Scala | % | Số bị chia |
| Scheme | modulo | Số chia |
| remainder | Số bị chia | |
| Scheme R6RS | mod | Luôn không âm[5] |
| mod0 | Nearest to zero[5] | |
| Seed7 | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| SenseTalk | modulo | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| Smalltalk | \\ | Số chia |
| rem: | Số bị chia | |
| Spin | // | Số chia |
| SQL [SQL:1999] | mod[x,y] | Số bị chia |
| SQL [SQL:2012] | % | Số bị chia |
| Standard ML | mod | Số chia |
| Int.rem | Số bị chia | |
| Stata | mod[x,y] | Luôn không âm |
| Swift | % | Số bị chia |
| Tcl | % | Số chia |
| Torque | % | Số bị chia |
| Turing | mod | Số chia |
| Verilog [2001] | % | Số bị chia |
| VHDL | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| VimL | % | Số bị chia |
| Visual Basic | Mod | Số bị chia |
| x86 assembly | IDIV | Số bị chia |
| XBase++ | % | Số bị chia |
| Mod[] | Số chia | |
| Z3 theorem prover | div, mod | Luôn không âm |
| ABAP | MOD | Luôn không âm |
| C [ISO 1990] | fmod | Số bị chia[6] |
| C [ISO 1999] | fmod | Số bị chia |
| remainder | Gần với số 0 | |
| C++ [ISO 1998] | std::fmod | Số bị chia |
| C++ [ISO 2011] | std::fmod | Số bị chia |
| std::remainder | Gần với số 0 | |
| C# | % | Số bị chia |
| Common Lisp | mod | Số chia |
| rem | Số bị chia | |
| D | % | Số bị chia |
| Dart | % | Luôn không âm |
| remainder[] | Số bị chia | |
| F# | % | Số bị chia |
| Fortran | mod | Số bị chia |
| modulo | Số chia | |
| Go | math.Mod | Số bị chia |
| Haskell [GHC] | Data.Fixed.mod' | Số chia |
| Java | % | Số bị chia |
| JavaScript | % | Số bị chia |
| LabVIEW | mod | Số bị chia |
| Microsoft Excel | =MOD[] | Số chia |
| OCaml | mod_float | Số bị chia |
| Perl | POSIX::fmod | Số bị chia |
| Perl6 | % | Số chia |
| PHP | fmod | Số bị chia |
| Python | % | Số chia |
| math.fmod | Số bị chia | |
| Rexx | // | Số bị chia |
| Ruby | %, modulo[] | Số chia |
| remainder[] | Số bị chia | |
| Scheme R6RS | flmod | Luôn không âm |
| flmod0 | Gần với số 0 | |
| Standard ML | Real.rem | Số bị chia |
| Swift | truncatingRemainder[dividingBy:] | Số bị chia |
| XBase++ | % | Số bị chia |
| Mod[] | Số chia |
Trong toán học, kết quả của phép toán modulo là số dư của phép chia có dư. Tuy vậy các quy ước khác vẫn tồn tại. Máy vi tính và máy tính có nhiều cách khác nhau để lưu trữ và đại diện cho các số; do đó định nghĩa của chúng về phép toán modulo phụ thuộc vào ngôn ngữ lập trình hoặc phần cứng máy tính bên dưới cơ bản.
Trong hầu hết các hệ thống máy tính, thương số q và số dư r của phép chia a cho n thỏa mãn
q ∈ Z a = n q + r | r | < | n | {\displaystyle {\begin{aligned}q\,&\in \mathbb {Z} \\a\,&=nq+r\\|r|\,& 0 ⇒ q = ⌊ a n ⌋ {\displaystyle n>0\Rightarrow q=\left\lfloor {\frac {a}{n}}\right\rfloor } n < 0 ⇒ q = ⌈ a n ⌉ {\displaystyle n Chủ Đề |