Bài 1.29 trang 12 sbt đại số và giải tích 11 nâng cao

LG a

Từ công thức\(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = a\sin x + b\cos x\)và

\(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,QM} \right)\)

Hãy suy ra\(a\sin x + b\cos x = C\cos \left( {x -\beta } \right)\)trong đó\(\beta \)là số đo của góc lượng giác\(\left( {OA,OQ} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = a\sin x + b\cos x\)

\(\eqalign{
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,OM} \right) \cr&= \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos (\left( {OA,OM} \right) - \left( {OA,OQ} \right)) \cr
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left( {\alpha - \beta } \right),\cr&\left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\beta = \left( {OA,OQ} \right) \cr} \)

LG b

Từ câu a) suy ra rằng \(a\sin x + b\cos x = C\sin \left( {x + \alpha } \right)\)trong đó\(\alpha \)là số đo của góc lượng giác\(\left( {OA,OP} \right),C = \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Hai điểm \(P\left( {a;b} \right)\) và \(Q\left( {b;a} \right)\) đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, nên dễ thấy

\(\left( {OA,OQ} \right) = {\pi \over 2} - \left( {OA,OP} \right),\) tức là

\(\beta = {\pi \over 2} - \alpha + k2\pi ,k \in Z.\)

Vậy

\(a\sin x + b\cos x = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left( {x - \beta } \right)\)

\(= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\cos \left( {x - {\pi \over 2} + \alpha } \right) \)

\(= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\sin \left( {x + \alpha } \right)\)