Bài tập ánh xạ ngược có lời giải

Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3} và B = {x, y}. Khi đó A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}

Câu hỏi. Nếu |A| = n và |B| = m thì |A × B| =? Đáp án. n × m. Khái niệm tích Descartes cũng được mở rộng cho hữu hạn tập hợp, nghĩa là A 1 × A 2 × · · · × A k = {(x 1 , x 2 , . . . , x k ) | x i ∈ A i , ∀i = 1, k}

2.2. Ánh xạ 1 Định nghĩa ánh xạ 2 Ánh xạ hợp 3 Ảnh và ảnh ngược 4 Các loại ánh xạ 5 Ánh xạ ngược

2.2.1. Định nghĩa Định nghĩa. Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một phép liên kết từ X vào Y sao cho mỗi phần tử x của X được liên kết duy nhất với một phần tử y của Y, ký hiệu: y = f (x) f : X → Y x → y = f (x).

Khi đó X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích.

Ví dụ.

1. Ánh xạ đồng nhất trên X Id X : X → X x → x.
2. Xét ánh xạ pr A : A × B → A (a, b) → a. Khi đó pr A được gọi là phép chiếu thứ nhất

Nhận xét. Nếu X, Y là tập hợp các số (chẳng hạn, ∅ =X, Y ⊂ R) thì f : X → Y còn được gọi là hàm số. Như vậy, hàm số chính là một trường hợp riêng của ánh xạ. Định nghĩa. Hai ánh xạ f, g được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tập nguồn, có cùng tập đích và ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Nhận xét. Vậy f ≠ g ⇔ ∃x ∈ X, f (x) ≠ g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x 2 − 1 từ R vào R. Ta có f = g. Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 3x + 4 và g(x) = 4x + 3. Hỏi f = g không? Giải. Vì f (0) ≠ g(0) nên f ≠ g.

2.2.2. Ánh xạ hợp Định nghĩa. Cho f : X → Y và g : Y → Z, lúc đó g ◦ f : X → Z là ánh xạ hợp của g và f , được xác định bởi g ◦ f (x) = g(f (x)).

Tính chất. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó

9. f ◦ Id X = f ii) Id Y ◦ f = f Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = x + 2 và g(x) = 3x − 1. Xác định g ◦ f và f ◦ g.

Giải.

9. Với mọi x ∈ R ta có g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) − 1 = 3x + 5. Vậy ánh xạ g ◦ f : R → R được xác định bởi g ◦ f (x) = 3x + 5. ii) Với mọi x ∈ R ta có f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (3x − 1) = (3x − 1) + 2 = 3x + 1. Vậy ánh xạ f ◦ g : R → R được xác định bởi f ◦ g(x) = 3x + 1.

Ví dụ.(tự làm) Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = x2 − 1 và g(x) = 2 − 3x. Xác định g ◦ f và f ◦ g.

Ví dụ.(tự làm) Cho hai hàm số f, g : R → R với f (x) = 2x + 3 và f ◦ g(x) = 4x + 1. Tìm g(x)?

2.2.3. Ảnh và ảnh ngược

Định nghĩa. Cho f : X → Y ,

1. Cho A ⊂ X, ảnh của A bởi f là tập f (A) = {f (x) | x ∈ A} ⊂ Y ;

2. Cho B ⊂ Y , ảnh ngược của B bởi f là tập f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊂ X.

Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x2 + 1. Hãy tìm

1. f ([1, 3]); f ([−2, −1]); f ([−1, 3]); f ((1, 5));
2. f −1 (1); f −1 (2); f −1 (−5); f −1 ([2, 5])?
3. Ta ký hiệu Im(f ) = f (X), gọi là ảnh của f .

Đáp án.

1. f ([1, 3]) = [2, 10]; f ([−2, −1]) = [2, 5]; f ([−1, 3]) = [1, 10]; f ((1, 5)) = (2, 26).
2. f −1 (1) = {0}; f −1 (−5) = ∅; f −1 (2) = {−1, 1}; f −1 ([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]. Ví dụ.(tự làm) Cho f : R → R được xác định f (x) = x 2 − 2x + 3. Hãy tìm
3. f ([1, 5]); f ([−5, −2]); f ([−3, 3]); f ((0, 5));
4. f −1 (1); f −1 (3); f −1 (−5); f −1 ([3, 11])?

2.2.4. Các loại ánh xạ Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → Y. Ta nói f đơn ánh nếu “∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 6 = x 2 → f (x 1 ) 6 = f (x 2 )”, nghĩa là hai phần tử khác nhau bất kỳ trong X thì có ảnh khác nhau trong Y.

Mệnh đề. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó:

9. f đơn ánh ⇔ “∀x 1 , x 2 ∈ X, f (x 1 ) = f (x 2 ) → x 1 = x 2 ”. ii) f không đơn ánh ⇔ “∃x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠x 2 ∧ f (x 1 ) = f (x 2 )”.

Chứng minh. i) Sử dụng luật logic p → q ⇔ ¬q → ¬p. ii) Sử dụng luật logic ¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q.

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x + 3. Xét tính đơn ánh của f. Giải. Với mọi x 1 , x 2 ∈ R, nếu x 1 ≠ x 2 thì x 1 + 3 ≠ x 2 + 3 nên f (x 1 ) ≠ f (x 2 ). Do đó f là đơn ánh. Ví dụ. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x 3 + x. Xét tính đơn ánh của f.

Giải. Với mọi x 1 , x 2 ∈ R,

Do đó f là đơn ánh.

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x 2 + x. Xét tính đơn ánh của f. Giải. Ta có f (−1) = f (0) = 0 mà −1 ≠ 0. Do đó f không là đơn ánh.

Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → Y. Ta nói f toàn ánh nếu “∀y ∈ Y, ∃x ∈ X sao cho y = f (x)”, nghĩa là mọi phần tử thuộc Y đều là ảnh của ít nhất một phần tử thuộc X.

Ví dụ.

1. Cho f : R → R được xác định f (x) = x 3 + 1 là toàn ánh.
2. Cho g : R → R được xác định g(x) = x 2 + 1 không là toàn ánh. Mệnh đề. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó,
3. f là toàn ánh ⇔ với mọi y ∈ Y, phương trình y = f (x) có nghiệm ii) f không là toàn ánh ⇔ tồn tại y 0 ∈ Y sao cho phương trình y 0 = f (x) vô nghiệm Ví dụ. Cho f : R → R xác định bởi f (x) = x 2 − 3x + 5. Hỏi f có toàn ánh không? Giải. Với y = 0 ta có phương trình y = f (x) vô nghiệm. Suy ra f không toàn ánh.

Định nghĩa. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh nghĩa là ∀y ∈ Y, ∃! x ∈ X : f (x) = y

Ví dụ.

1. f : R → R được xác định f (x) = x 3 + 1 là song ánh
2. g : R → R được xác định g(x) = x 2 + 1 không là song ánh Ví dụ. Cho f : R → R xác định bởi f (x) = x + 3. Hỏi f có song ánh không?

Ví dụ.(tự làm) Cho f : N → N xác định bởi f (x) = 2x + 1. Hỏi f có song ánh không? Ví dụ.(tự làm) Cho f : Z → Z xác định bởi f (x) = x + 5. Hỏi f có song ánh không? Tính chất. Cho ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Khi đó (i) f, g đơn ánh ⇒ g ◦ f đơn ánh ⇒ f đơn ánh; (ii) f, g toàn ánh ⇒ g ◦ f toàn ánh ⇒ g toàn ánh; (iii) f, g song ánh ⇒ g ◦ f song ánh ⇒ f đơn ánh, g toàn ánh.

2.2.5. Ánh xạ ngược Định nghĩa. Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f (x) = y. Do đó tương ứng y 7→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f −1 . Như vậy:

f −1 : Y → X y → x với f (x) = y.Ví dụ. Cho f là ánh xạ từ R vào R xác định bởi f (x) = x + 4. Chứng tỏ f song ánh và tìm f −1 ? Đáp án. f −1 (y) = y − 4.

Ví dụ. Cho f : [0; 2] → [0; 4] x → x 2 f −1 : [0; 4] → [0; 2] y→ √y

Định lý. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó, nếu ∀y ∈ Y , phương trình f (x) = y (theo ẩn x) có duy nhất một nghiệm thì f là song ánh. Hơn nữa, nếu nghiệm đó là x 0 thì f −1 (y) = x 0 . Ví dụ. Cho f : R → R xác định bởi f (x) = 5x − 3. Hỏi f có song ánh không? Giải. Với mọi y ∈ R, ta xét phương trình ẩn x sau y = f (x) ⇔ y = 5x − 3 ⇔ x = (y +3)/5 Như vậy, phương trình có nghiệm duy nhất, suy ra f là song ánh. Hơn nữa

Mệnh đề. Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai song ánh. Khi đó: (i) f −1 cũng là một song ánh và (f −1 ) −1 = f ; (ii) (g ◦ f ) −1 = f −1 ◦ g −1

Mệnh đề. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → X. Nếu g ◦ f = Id X , f ◦ g = Id Y thì f là song ánh và g là ánh xạ ngược của f.