Bài tập đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp năm 2024
|
- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. Ví dụ 1. Đường tròn (O) đi qua tất cả các đỉnh của tứ giác ABCD như hình vẽ. Do đó ta gọi đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. - Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. Ví dụ 2. Đường tròn (I) tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ giác MNPQ như hình vẽ. Do đó ta gọi đường tròn (I) nội tiếp tứ giác MNPQ hay tứ giác MNPQ ngoại tiếp đường tròn. 2. Định lí- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. - Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều. Ví dụ 3. Tam giác ABC đều có tâm đường tròn nội tiếp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp là tâm O và O được gọi là tâm của tam giác đều ABC. Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường phân giác. Do đó, tâm này là giao điểm hai đường trung tuyến hoặc trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc hoặc là đường cao xuất phát từ hai đỉnh của tam giác đều. 3. Mở rộng- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh. - Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh. Cho n-giác đều cạnh a. Khi đó: - Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi). - Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng (n−2) . 180on. - Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360on. - Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R=a2sin180on⇒a=2R . sin180on - Bán kính đường tròn nội tiếp: r=a2tan180on⇒a=2r . tan180on - Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: R2−r2=a24. - Diện tích đa giác đều: S=12nar. Ví dụ 4.
Lời giải:
a=2R . sin180on=2R . sin140o=2R . 22=R2 Vậy hình vuông nội tiếp (O; R) có độ dài mỗi cạnh là R2.
a=2r . tan180on=2r . tan30o=2r . 33=233r Vậy lục giác đều ngoại tiếp (O; r) có độ dài mỗi cạnh là 233r. Bài tập tự luyện ( có hướng dẫn)Bài 1:
Lời giải a) Cách vẽ: - Chọn điểm O làm tâm, mở compa có độ dài 2cm, vẽ đường tròn tâm O bán kính 2cm. b) Cách vẽ: - Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau - Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm). c) Kẻ OH vuông góc với AD tại H Khi đó, OH = r là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Vì AB = BC = CD = DA (do ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau và cùng bằng OH (định lý liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây) Ta có: Tam giác OAD vuông tại O (do AC vuông góc với BD tại O) Mà: OA = OD (cùng bằng bán kính đường tròn (O; OA)) Do đó, tam giác OAD vuông cân tại O Có: OH là đường cao (do OH vuông góc với AD tại H) vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒OH=AH=HD=12AD ⇒OH = AH = r Xét tam giác OHA vuông tại H (do OH vuông góc với AD tại H) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OA2=OH2+AH2 ⇒ 22 = r2 + r2 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = 2 (cm) Vẽ đường tròn (O; 2cm). Đường tròn này nội tiếp hình vuông ABCD, tiếp xúc cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh. Bài 2:
Lời giải
+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm . +Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C. Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm. b) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác AA’, BB’, CC’ của tam giác đều ABC) Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA Hai đường trung trực cắt nhau tại O Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính AA’: Xét tam giác AA’C vuông tại A’ (do AA’ là đường cao) Có: AC = 3cm A’ là trung điểm của BC ⇒A'C=12BC=32(cm) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2=AA'2+A'C2 ⇒AA'2=AC2−A'C2=32−322=274 ⇒AA'=274=332(cm) Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến) ⇒OA=23AA'=23.332=3 (cm) Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R = OA = 3 (cm) c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB. Đường tròn nội tiếp tam giác (O; r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh. ⇒r = OA' = OB' = OC' Vậy đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O và bán kính r = OA' = OB' = OC'. Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến) ⇒OA'=13AA'=13.332=32 (cm) ⇒r=32cm d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có: Tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R). Bài 3: Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R. Lời giải a) * Vẽ lục giác đều nội tiếp (O; R) : + Lấy điểm A trên (O ; R). + Vẽ cung tròn (A; R) cắt (O; R) tại B và F⇒AB = AF = R + Vẽ cung tròn (B; R) cắt (O; R) tại C (khác A)⇒ BC = R + Vẽ cung tròn (C; R) cắt (O; R) tại D (khác B)⇒ CD = R + Vẽ cung tròn (D; R) cắt (O; R) tại E (khác C)⇒ DE = R ABCDEF là lục giác đều cần vẽ. * Tính cạnh: AB = BC = CD = DE = EF = FA = R. b) * Vẽ hình vuông: + Vẽ đường kính AC của đường tròn tâm O. + Vẽ đường kính BD ⊥ AC Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông. Nối A với B ; B với C ; C với D với A ta được hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). * Tính cạnh : ΔAOB vuông tại O ⇒AB=OA2+OB2=R2+R2=R2 c) * Vẽ tam giác đều: Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau như phần a). Nối các điểm như hình vẽ ta được tam giác đều nội tiếp đường tròn. * Tính cạnh tam giác: Gọi cạnh ΔABC đều là a. Gọi H là trung điểm BC ⇒ HB = a2 ⇒AH=AB2−HB2=a2−a22=a32 Tam giác ABC là tam giác đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác. ⇒OA=23AH=23.a32=a33=a3 Mà OA = R ⇒ a = R3. Vậy tam giác đều có cạnh là R3. Bài 4: Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho
Lời giải
Có: sđAB⏜=60o Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB ⇒AOB^=60o Do đó tam giác AOB đều nên AB = OB = OA = R Có: sđ BC⏜=90o Mà góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC ⇒BOC^=90o Xét tam giác BOC có: BOC^=90o Do đó, tam giác BOC vuông tại O Xét tam giác BOC vuông tại O Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: BC2=OB2+OC2 ⇒BC=OB2+OC2=R2+R2=R2 Do đó, ABCD là hình thang cân. ⇒AD = BC = R2 Kẻ OH vuông góc với CD tại H Tứ giác ABCD là hình thang cân ⇒BCD^=ADC^=75o Xét tam giác BOC vuông tại O Có: OB = OC (= R) Do đó, tam giác BOC vuông cân tại O ⇒BCO^=CBO^=45o ⇒OCD^=BCD^−BCO^=75o−45o=30o Xét tam giác OCH vuông tại H (ta kẻ OH vuông góc với CD tại H) Có: HC=OC.cosOCH^=R.cos30o=32R Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy). ⇒ CD = 2CH = R3. Bài 5: Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là A và nhận O làm tâm.Nêu cách vẽ Lời giải: *vẽ hình vuông: - Vẽ đường tròn (O;R) - Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau - Nối AB ,BC ,CD ,DA ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O;R) *tam giác đều: -Từ A đặt liên tiếp các cung bằng nhau và dây căng cung tương ứng có độ dài bằng R: - Nối AA2 , A2A3 ,A3A ta được tam giác AA2A3 là tam giác đều nhận O làm tâm Bài 6: Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm rồi vẽ hình tám cạnh đều nội tiếp đường tròn (O; 2cm). Nêu cách vẽ. Lời giải: Cách vẽ: - Vẽ đường tròn (O; 2cm) - Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau. - Nối AB, BC, CD, DA ta có hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (0; 2cm) - Kẻ đường kính EF ⊥ AD, đường kính GH ⊥ AB Nối AE, ED, DG, GC, CF, FB, BH, HA ta có đa giác AEDGCFBH là đa giác đều 8 cạnh nội tiếp trong đường tròn (O; 2cm). Bài 7: Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó. Hướng dẫn: Tính COB^ rồi tính sinCOB^ và tanCOB^, từ đây tính được R và r. Lời giải: Giả sử một đa giác đều n cạnh có độ dài một cạnh là a. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r bán kính đường tròn nội tiếp \=> OB = R; OC = r Có: AOB^=360on \=> COB^=360on:2=180on Tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) nên OC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. Do đó, C là trung điểm của AB nên CB = a2. Xét tam giác OCB có: OCB^=90o sinCOB^=CBOB=a2R=a2R \=> 2R = asin180on \=> R = a2.sin180on Xét tam giác OCB vuông tại C, ta có: tanCOB^=CBOC=a2r=a2r \=> 2r = atan180on \=> r = a2.tan180on Bài 8: a.Vẽ một lục giác đều ABCDEG nội tiếp đường tròn bán kính 2cm rồi vẽ hình 12 cạnh đều AIBJCKDLEMGN nội tiếp đường tròn đó.Nêu cách vẽ
Hướng dẫn: Áp dụng các công thức ở bài 46 Lời giải: a) Cách vẽ: - Vẽ đường tròn (O; 2cm) - Từ điểm A trên đường tròn (O; 2cm) đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây căng cung 2cm AB⏜=BC⏜=CD⏜=DE⏜=EG⏜ - Nối AB, BC, CD, DE, EG, GA ta có lục giác đều ABCDEG nội tiếp đường tròn (O; 2cm) - Kẻ đường kính vuông góc với AB và DE cắt đường tròn tại I và L Ta có: AI⏜=IB⏜, LD⏜=LE⏜ Tương tự, - Kẻ đường kính vuông góc với BC và EG cắt đường tròn tại J và M Ta có: JB⏜=JC⏜, MG⏜=ME⏜ - Kẻ đường kính vuông góc với CD và AG cắt đường tròn tại K và N Ta có: KC⏜=KD⏜, NA⏜=NG⏜ - Nối AI, IB, BJ, JC, CK, KD, DL, LE, EM, MG, GN, NA Ta có đa giác đều 12 cạnh AIBJCKDLEMGN. b) AI là cạnh của đa giác đều 12 cạnh Kẻ OH vuông góc với AI tại H Có: IOH^=360o24=15o Ta có: H là trung điểm của AI (đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm) \=> IH = AI2 Xét tam giác IOH vuông tại H có: OI = HIsinIOH^=AI2sinIOH^ \=> AI = OI.2sinIOH^ = 2.2sin15° ≈ 1,04 (cm) c) Có: OH = r (bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều 12 cạnh) Trong tam giác vuông OHI có: OH = OI.cosIOH^ = 2.cos15° ≈ 1,93 (cm). Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác: 50 Bài tập Độ dài đường tròn, cung tròn (có đáp án năm 2024) 50 Bài tập Tứ giác nội tiếp (có đáp án năm 2024) 50 Bài tập Cung chứa góc (có đáp án năm 2024) 50 Bài tập Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn (có đáp án năm 2024) |
