Bài tập ôn luyện về phép tính vectơ năm 2024

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,986,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,128,Đề thi THỬ Đại học,401,Đề thi thử môn Toán,65,Đề thi Tốt nghiệp,46,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,208,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,13,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,308,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,392,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Tài liệu gồm 34 trang phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán về vectơ và các phép toán vectơ thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 1, tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Hoàng Việt.

1. HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU
2. Chứng minh các véctơ bằng nhau. II. Tính độ dài véctơ.
3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ. Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức véctơ. Dạng 4: Tính độ dài véctơ. [ads]
4. TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ Dạng 1: Chứng minh đẳng thức véctơ. Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước. Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương. Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau. Dạng 6: Quỹ tích điểm. MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

• Vectơ

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Tích của vectơ với một số là kiến thức hình học quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 10. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu lý thuyết, làm quen với các dạng bài tập tích của vectơ thường gặp để đạt điểm cao trong các đề kiểm tra sắp tới nhé!

1. Lý thuyết cơ bản về tích vectơ với một số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với một số

Tích của vectơ với một số được định nghĩa như sau:

Cho một số thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$.

Tích của vectơ $\vec{a}$ với một số thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k>0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k<0, vecto k$\vec{a}$ có độ dài bằng $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$.

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính chất tích của vectơ với 1 số

Tích của vectơ với một số có các tính chất:

a, Tính phân phối với phép cộng vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với phép cộng các số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng:

• Nếu E là trung điểm của đoạn thẳng MN thì với mọi điểm I, ta có:

$\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì mọi điểm I ta có:

$\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Điều kiện cần và đủ để vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ cùng phương là tồn tại một số k sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$.
• Ba điểm phân biệt M, N, O thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k\neq 0$ để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ kđều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, trong đó m, n là các số thực duy nhất.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

2. Một số bài tập tích của vectơ với một số

2.1. Tính độ dài vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ các vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, kết hợp với các định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng các vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải:

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm ta được:

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo quy tắc trừ ta có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo định lý Pytago ta có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, P là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K thuộc đoạn AM sao cho $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H thuộc tia $\vec{BM}$ sao cho $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD có cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:

a, Giả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có:

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

\=> Vecto $\vec{u}$ không phụ thuộc vị trí của điểm M.

b, Lấy A' trên $\vec{OA}$ sao cho OA'=3OA

Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$

Mặt khác:

$\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA')^{{2}}=\sqrt{OB}{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải:

• Biến đổi đẳng thức vectơ thành dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm N sao cho $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, ta lấy điểm A làm gốc, dựng một vectơ bằng vectơ $\vec{a}$, từ đó suy ra được điểm ngọn là điểm N.
• Biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm M,N,P sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$ b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$ c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

\=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

\=> Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

\=> Điểm N là trung điểm đoạn thẳng KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

\=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm P là trung điểm đoạn thẳng AG.

Ví dụ 2: A, B là hai điểm cho trước, hai số thực $\alpha ,\beta $ thỏa mãn $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn tại duy nhất một điểm I sao cho $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ đó suy ra được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là điểm bất kì).

Lời giải:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức: tính chất vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc phép trừ, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác để biến đổi.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$

2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$

Lời giải:

Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$

Lời giải:

Hy vọng bài viết trên đây đã giúp các em nắm được kiến thức về tích của vectơ với một số. Bên cạnh việc học lý thuyết các em cần luyện tập thêm những dạng bài tập hay gặp để có được bài kiểm tra môn Toán đạt kết quả cao. Ngoài ra các em hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay để học tập tốt hơn nhé!