Các bài tập về xác suất thống kê y dược năm 2024

1. VÀ THỐNG KÊ Y DƯỢC Chương 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành Ngày 29 tháng 8 năm 2022 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 1 / 70
2. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 3 / 70
3. NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1-1 Giải tích tổ hợp 1-2 Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố 1-3 Định nghĩa xác suất 1-4 Một số công thức tính xác suất Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 4 / 70
4. TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng 2. Quy tắc nhân 3. Chỉnh hợp lặp 4. Chỉnh hợp không lặp 5. Hoán vị 6. Tổ hợp Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 5 / 70
5. cộng Một công việc có thể thực hiện theo k phương án độc lập ⋆ Phương án thứ nhất có n1 cách thực hiện. ⋆ Phương án thứ hai có n2 cách thực hiện. ⋆ · · · ⋆ Phương án thứ k có nk cách thực hiện. ⋆ Khi đó, số cách để hoàn thành công việc này là n1 + n2 + · · · + nk Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có thể đi bằng một trong 3 phương tiện: máy bay, tàu hỏa, ôtô. Trong một ngày có 10 chuyến bay, 20 chuyến tàu hỏa và 30 chuyến ôtô khởi hành từ A đến B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B trong một ngày? Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 6 / 70
6. nhân ⋆ Một công việc A phải thực hiện thông qua k giai đoạn có mối liên hệ với nhau. ⋆ Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện. ⋆ Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện. ⋆ Giai đoạn k có nk cách thực hiện. ⋆ Khi đó, số cách để hoàn thành công việc A là n1 × n2 × · · · × nk Ví dụ 2. Từ A đến B có 2 con đường, từ B đến C có 3 con đường. 1 Có bao nhiêu cách đi từ A qua B rồi đến C? 2 Người ta mở thêm 2 con đường đi trực tiếp từ A đến C, hỏi khi đó có bao nhiêu cách đi từ A đến C. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 7 / 70
7. lặp Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử của A, các phần tử có thể được lấy lặp lại, được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Ví dụ 3. Tập A = {a, b, c} có các chỉnh hợp lặp chập 2 là: aa, bb, cc, ab, ba, ac, ca, bc, cb. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu Bk n và được tính theo công thức Bk n = nk . Ví dụ 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 lớp học vào 3 hội trường lớn? Một cách sắp xếp là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 3 phần tử. Tổng số cách là B5 3 = 35 = 243 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 8 / 70
8. hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ có thứ tự gồm k phần tử phân biệt lấy từ n phần tử của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ví dụ 5. Tập A = {a, b, c} có các chỉnh hợp chập 2 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ak n và được tính theo công thức Ak n = n(n − 1)...(n − k + 1) = n! (n − k)! Bấm máy Casio: Shift n x k Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 9 / 70
9. vị Cho tập hợp A có n phần tử. Một dãy gồm tất cả các phần tử của A xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử này. Ví dụ 6. Tập A = {a, b, c} có các hoán vị là: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn và được tính theo công thức Pn = n! Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 10 / 70
10. hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ không thứ tự (một tập con) k phần tử lấy từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Ví dụ 7. Tập A = {a, b, c} có các tổ hợp chập 2 là: ab, ac, bc. Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ck n và được tính theo công thức Ck n = Ak n k! = n! k!(n − k)! Bấm máy Casio: Shift n : k Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 11 / 70
11. dụ 8. Có 5 mẫu máu cần xét nghiệm nhưng chỉ có đủ hóa chất để xét nghiệm cho 3 mẫu. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện? Giải. ⋆ Số cách xét nghiệm chính là số cách chọn 3 mẫu máu (không kể thứ tự) từ 5 mẫu máu hay số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử. ⋆ Số cách thực hiện C3 5 = 10 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 12 / 70
12. dụ 9. (Đề thi 2021) Một lớp học có 50 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên để: 1 Lập một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ? 2 Lập một nhóm tham dự hội nghị sinh viên toàn trường? (vai trò của các thành viên trong nhóm như nhau). Giải. ⋆ 1) Mỗi kết quả chọn ra 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ từ 50 sinh viên tương ứng với một cách chọn một bộ có thứ tự 3 phần tử từ 50 phần tử hay chính là một chỉnh hợp chập 3 của 50 phần tử. Vậy số kết quả có thể xảy ra là A3 50 ⋆ 2) C3 50 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 13 / 70
13. VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 1. Phép thử và biến cố 2. Các loại biến cố 3. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố 4. Tính chất của các phép toán trên biến cố Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 15 / 70
14. và biến cố Phép thử Phép thử là một khái niệm cơ bản của xác suất, nó không được định nghĩa một cách chính xác. Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay một hành động để quan sát một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 16 / 70
15. và biến cố Biến cố Hiện tượng ngẫu nhiên ta quan sát trong phép thử được gọi là biến cố. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 17 / 70
16. và biến cố ⋆ Mỗi biến cố chính là một kết quả (kết cục) của phép thử. Trong một phép thử có thể có nhiều kết quả xảy ra. ⋆ Kết quả đơn giản nhất gọi là các biến cố sơ cấp, ⋆ Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp. ⋆ Kí hiệu không gian mẫu Ω ⋆ Biến cố là một tập con của không gian mẫu. ⋆ Kí hiệu các biến cố sơ cấp A, B, C, ..., A1, A2, ... Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 18 / 70
17. và biến cố 1 Gieo một đồng xu một lần, không gian mẫu là Ω = {S, N} 2 Gieo một đồng xu hai lần, không gian mẫu là Ω = {SS, SN, NS, NN} 3 Gieo một con xúc xắc, không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 19 / 70
18. biến cố ⋆ Biến cố chắc chắn (Ω): Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử. ⋆ Biến cố không thể (∅): Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. ⋆ Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ 10. Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có từ 1 đến 6 chấm” là biến cố chắc chắn; biến cố “xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể; biến cố “xuất hiện mặt 5 chấm” là biến cố ngẫu nhiên. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 20 / 70
19. hệ và các phép toán giữa các biến cố Quan hệ kéo theo Quan hệ kéo theo Ta nói rằng biến cố A kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. Hai biến cố A và B được gọi là tương đương, kí hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại, nghĩa là A ⊂ B và B ⊂ A. Ví dụ 11. Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm, B là biến cố xuất hiện mặt chẵn nhỏ hơn 4 chấm, C là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A = B, A ⊂ C. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 21 / 70
20. hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng các biến cố Biến cố tổng Tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu là A + B hoặc A ∪ B, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Tổng của hữu hạn biến cố A1 + A2 + ... + An được định nghĩa tương tự. Ví dụ 12. Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng bia và B là biến cố người thứ hai bắn trúng bia. C = A + B: biến cố tấm bia bị bắn trúng. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 22 / 70
21. hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích các biến cố Biến cố tích Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, kí hiệu là C = AB hay (A ∩ B), nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả A lẫn B cùng xảy ra. Ví dụ 13. Hai người cùng bắn vào một tấm bia. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trượt. B là biến cố người thứ hai bắn trượt C = AB: biến cố tấm bia không bị bắn trúng. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 23 / 70
22. hệ và các phép toán giữa các biến cố Hai biến cố xung khắc Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu AB = ∅ Ví dụ 14. Tung một đồng xu. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt sấp, B là biến cố xuất hiện mặt ngửa AB = ∅ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 24 / 70
23. hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố đối lập Biến cố đối lập Biến cố không xảy ra biến cố A được gọi là biến cố đối lập với biến cố A. Kí hiệu là Ā Tính chất: A + Ā = Ω AĀ = ∅ Ví dụ 15. Kiểm tra 3 sản phẩm từ một lô hàng. Biến cố A: Có ít nhất 1 sản phẩm tốt. Biến cố B: Không có sản phẩm nào tốt. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 25 / 70
24. hệ và các phép toán giữa các biến cố Sự đồng khả năng của các biến cố Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau trong phép thử. Ví dụ 16. 1 Gieo một đồng xu cân đối, khi đó khả năng xuất hiện hai mặt sấp, ngửa là như nhau hay S, N là các biến cố đồng khả năng. Cũng vậy gieo một con xúc xắc cân đối ta có 6 biến cố đồng khả năng là xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm. 2 Trong một bình đựng các viên bi to nhỏ như nhau, nặng nhẹ như nhau, chỉ khác màu sắc. Nếu ta lấy ra ngẫu nhiên một viên, không quan tâm tới màu sắc thì các viên bi trong bình có khả năng được lấy ra như nhau. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 26 / 70
25. của các phép toán trên biến cố Giả sử A, B, C là các biến cố. Khi đó: 1 A + A = A 2 AA = A 3 A + ∅ = A 4 A∅ = ∅ 5 A + Ω = Ω 6 AΩ = A 7 A + B = ĀB̄ 8 AB = Ā + B̄ 9 (A + B) + C = A + (B + C) 10 (A + B)C = AC + BC 11 A(B + C) = AB + AC Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 27 / 70
26. và các phép toán giữa các biến cố Ví dụ 17. Tung 1 lần con xúc xắc cân đối, đồng chất. Không gian mẫu: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Biến cố A: Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn. Biến cố B: Xuất hiện mặt có số chấm ít nhất là 4. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} • Biến cố đối lập: Ā = {1, 3, 5} B̄ = {1, 2, 3} • Biến cố tích: AB = {4, 6} • Biến cố tổng: A + B = {2, 4, 5, 6} A + Ā = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 28 / 70
27. XÁC SUẤT 1. Định nghĩa về xác suất theo quan điểm cổ điển 2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 30 / 70
28. về xác suất theo quan điểm cổ điển Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử một phép thử có n (biến cố sơ cấp) đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m trường hợp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) được xác định bằng công thức sau: Công thức P(A) = |A| |Ω| = n(A) n(Ω) = m n = số TH thuận lợi cho A Số TH có thể xảy ra Tính chất: P(Ω) = 1; P(∅) = 0; P(A) + P(A) = 1; 0 ≤ P(A) ≤ 1. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 31 / 70
29. về xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 18. Một người gọi điện thoại nhưng lại quên 2 số cuối của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ là 2 số khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số cần gọi. ⋆ Gọi A là biến cố người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số cần gọi. ⋆ Số TH thuận lợi cho biến cố A là m = 1. ⋆ Số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra là n = 9.10 = 90. ⋆ Vậy xác suất để người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số cần gọi P(A) = m n = 1 90 . Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 32 / 70
30. về xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 19. Gieo con xúc xắc cân đối. Tính xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là chẵn. P(A) = 3 6 = 1 2 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 33 / 70
31. về xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 20. Gieo hai đồng xu. Tìm xác xuất để: 1 Hai đồng xu cùng sấp (A1); P(A1) = 1/4 2 Hai đồng xu cùng ngửa (A2); P(A2) = 1/4 3 Một sấp, một ngửa (A3); P(A3) = 1/2 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 34 / 70
32. về xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 21. Trong bình có 6 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Tính xác xuất của các biến cố: 1 A = Lấy được 2 bi đỏ. 2 B = Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi trắng. 3 C = Lấy được ít nhất 1 bi đỏ. ⋆ Số TH không gian mẫu n = |Ω| = C2 10 ⋆ |A| = C2 6 ⇒ P(A) = C2 6 C2 10 ⋆ |B| = C1 6 .C1 4 ⇒ P(B) = C1 6 .C1 4 C2 10 ⋆ |C| = C1 6 .C1 4 + C2 6 ⇒ P(C) = C1 6 .C1 4 +C2 6 C2 10 . Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 35 / 70
33. về xác suất theo quan điểm thống kê (Bằng tần suất) Định nghĩa về xác suất theo quan điểm thống kê Giả sử thực hiện 1 phép thử nào đó n lần độc lâp (kết quả của phép thử sau không phụ thuộc vào kết quả của phép thử trước), trong đó biến cố A xảy ra m lần. Công thức P(A) = lim n→∞ fn(A) = lim n→∞ m(A) n n: Số lần lặp lại phép thử m(A): Số lần xảy ra biến cố A (tần số của A) fn(A) : Tần suất của biến cố A Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 36 / 70
34. về xác suất theo quan điểm thống kê Ví dụ 22. Các nhà toán học Buffon và Pearson đã làm thực nghiệm gieo nhiều lần một đồng tiền xu cân đối và đồng chất thì thu được các kết quả trong bảng sau: Người gieo Số lần gieo Số lần mặt chữ Tần suất Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson (lần 1) 12000 6019 0,5016 Pearson (lần 2) 24000 12012 0,5005 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 37 / 70
35. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT NỘI DUNG 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân xác suất [2.1.] Xác suất có điều kiện [2.2.] Công thức nhân xác suất 3. Công thức xác suất đầy đủ 4. Công thức Bayes 5. Công thức Bernoulli Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 39 / 70
36. cộng xác suất Cho các cặp biến cố xung khắc ⋆ Nếu biến cố A là B xung khắc (AB = ∅) thì P(A + B) = P(A) + P(B) ⋆ Mở rộng cho 3 biến cố A1, A2, A3 xung khắc từng đôi (A1A2 = ∅, A1A3 = ∅, A2A3 = ∅) P(A1 + A2 + A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) ⋆ Tương tự cho n biến cố. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 40 / 70
37. cộng xác suất Cho các cặp biến cố xung khắc Ví dụ 23. Có hai hộp bi trong đó hộp thứ nhất có 2 bi đỏ, 3 viên bi xanh và 5 viên bi vàng; hộp thứ hai có 4 bi đỏ, 2 viên bi xanh và 4 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi cùng màu. Giải. Gọi A là biến cố lấy được 2 bi đỏ Gọi B là biến cố lấy được 2 bi xanh Gọi C là biến cố lấy được 2 bi vàng A, B, C là các biến cố xung khắc từng đôi Xác suất để lấy được 2 bi cùng màu Theo công thức cộng xác suất ta có P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) = C1 2 .C1 4 C1 10.C1 10 + C1 3 .C1 2 C1 10.C1 10 + C1 5 .C1 4 C1 10.C1 10 = 0, 34 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 41 / 70
38. cộng xác suất Cho biến cố bất kỳ ⋆ Với hai biến cố A và B bất kỳ P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⋆ Với ba biến cố A1, A2, A3 bất kỳ P(A1 + A2 + A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) −P(A1A2) − P(A1A3) − P(A2A3) + P(A1A2A3) ⋆ Key: "ít nhất" Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 42 / 70
39. cộng xác suất Cho biến cố bất kỳ Ví dụ 24. Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người này mắc ít nhất một trong hai loại bệnh trên. Giải. Gọi A là biến cố người mắc bệnh tim; B là biến cố người mắc bệnh huyết áp AB là biến cố người mắc bệnh tim và huyết áp A + B là biến cố người mắc ít nhất một trong hai bệnh Theo công thức cộng xác suất ta có P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 9% + 12% − 7% = 14% Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 43 / 70
40. cộng xác suất Xác suất của biến cố đối lập Xác suất của biến cố đối lập P(A) = 1 − P(A) Ví dụ 25. Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 40 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 20 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được ít nhất một phế phẩm. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 44 / 70
41. nhân xác suất Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện Xác suất của biến cố B xét trong điều kiện biến cố A đã xảy ra gọi là xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A và ký hiệu là P(B|A). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 45 / 70
42. nhân xác suất Xác suất có điều kiện Ví dụ 26. Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 2 viên. Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi xanh biết lần thứ nhất lấy được bi xanh. ⋆ Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi xanh B là biến cố lần thứ hai lấy được bi xanh ⋆ Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh, tức A xảy ra thì sau lần lấy thứ nhất trong bình còn lại 5 viên xanh và 4 viên đỏ ⋆ Khi đó, xác suất để lần 2 lấy được bi xanh là P(B|A) = 5/9. ▶ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 46 / 70
43. nhân xác suất Xác suất có điều kiện Công thức xác suất có điều kiện P(B|A) = P(AB) P(A) hay P(A|B) = P(AB) P(B) Tính chất ⋄ Giá trị của xác suất: 0 ≤ P(A | B) ≤ 1 ⋄ Xác suất của B: P(B | B) = 1 ⋄ Xác suất của biến cố đối lập: P(Ā | B) = 1 − P(A | B) ⋄ Xác suất của biến cố tổng: A1A2 = ∅ ⇒ P (A1 + A2 | B) = P (A1 | B) + P (A2 | B) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 47 / 70
44. nhân xác suất Xác suất có điều kiện Ví dụ 27. Một chiếc hộp có 7 vé trong đó có 4 vé trúng thưởng. Người thứ nhất bốc 1 vé (không hoàn lại) sau đó người thứ 2 bốc 1 vé. Tính xác suất người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người thứ nhất đã bốc được vé không trúng thưởng. Giải. Gọi A là biến cố người thứ nhất bốc được vé không trúng thưởng Gọi B là biến cố người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng Xác suất để người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người thứ nhất đã bốc được vé không trúng thưởng. Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có P(B|A) = 4 6 = 2 3 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 48 / 70
45. nhân xác suất Công thức nhân xác suất Từ công thức xác suất có điều kiện ta dễ dàng suy ra công thức sau đây được gọi là công thức nhân xác suất : P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) Xác suất của tích n biến cố A1, A2, ..., An được tính bởi công thức: P(A1A2...An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An−1) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 49 / 70
46. nhân xác suất Ví dụ 28. Một người có một chùm có 9 chìa khóa giống hệt nhau, trong đó có 2 chìa có thể mở được cửa. Lấy ngẫu nhiên từng chìa để mở cửa (thử xong nếu không mở được thì bỏ ra ngoài). Tìm xác suất để mở được tủ đúng vào lần thử thứ 3. Giải. Gọi A1 là biến cố mở được tủ ở lần thứ nhất Gọi A2 là biến cố mở được tủ ở lần thứ hai Gọi A3 là biến cố mở được tủ ở lần thứ ba Theo công thức nhân xác suất ta có P(A1A2A3) = P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1A2) = 7 9 . 6 8 . 2 7 = 1 6 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 50 / 70
47. nhân xác suất Sự độc lập của các biến cố Sự độc lập của các biến cố Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia. Nhận xét: Nếu hai biến cố A, B độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập: A và B̄; Ā và B; Ā và B̄ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 51 / 70
48. nhân xác suất Công thức nhân trong trường hợp các biến cố độc lập A và B độc lập P(A|B) = P(A|B̄) = P(A) P(B|A) = P(B|Ā) = P(B) P(AB) = P(A)P(B) Mở rộng cho 3 biến cố A1, A2, A3 độc lập P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) Mở rộng cho n biến cố A1, A2, · · · , An độc lập P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3). · · · .P(An) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 52 / 70
49. nhân xác suất Công thức nhân trong trường hợp các biến cố độc lập Ví dụ 29. Cho một hộp bi có 8 bi trắng, 5 bi vàng và 4 bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi ra khỏi hộp không hoàn lại (mỗi lần chọn một bi). Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được bi trắng. Giải. Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi trắng Gọi B là biến cố lần thứ hai lấy được bi trắng A, B là hai biến cố độc lập Xác suất để cả hai lần lấy được bi trắng (lấy không hoàn lại) Theo công thức nhân xác suất ta có P(A.B) = P(A).P(B) = 8 17. 7 16 = 0, 2059 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 53 / 70
50. xác suất đầy đủ Giả sử {A1, A2, ..., An} là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi A1 + A2 + . . . + An = Ω Ai · Aj = ∅, ∀i ̸= j và B là một biến cố bất kỳ (thuộc cùng phép thử). Ta có: Công thức xác suất đầy đủ P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 54 / 70
51. xác suất đầy đủ Ví dụ 30. Có hai hộp sản phẩm trong đó hộp I có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm, hộp II có 9 chính phẩm và 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm. Giải. Gọi B là biến cố lấy được 2 chính phẩm Ai là biến cố sản phẩm lấy từ hộp i, i = 1, 2; Họ {Ai } là họ biến cố xung khắc và đầy đủ Theo công thức xác suất đầy đủ P(B) = P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) = 1 2. C2 8 C2 12 + 1 2. C2 9 C2 12 = 16 33 . Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 55 / 70
52. Bayes ⋆ Giả sử {A1, A2, ..., An} là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi và B là một biến cố bất kỳ có xác suất khác 0. Khi đó: Công thức Bayes P(Ak |B) = P(AkB) P(B) = P(Ak )P(B|Ak ) P(A1)P(B|A1) + ... + P(An)P(B|An) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 56 / 70
53. Bayes Ví dụ 31. Tỉ lệ điều trị bằng phương pháp I, II, III, IV tương ứng bằng 0.2, 0.25, 0.25, 0.3. Xác suất khỏi bệnh của các phương pháp tương ứng bằng 0.75, 0.82, 0.84, 0.8. Một bệnh nhân được điều trị bằng một trong các phương pháp trên đã khỏi bệnh. Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh bằng phương pháp III là. Giải. Gọi B là biến cố bệnh nhân khỏi bệnh A1 là biến cố điều trị bằng phương pháp I; A2 là biến cố điều trị bằng phương pháp II A3 là biến cố điều trị bằng phương pháp III; A4 là biến cố điều trị bằng phương pháp IV Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 57 / 70
54. Bayes Họ {Ai }, i = 1, 2, 3, 4 là họ biến cố xung khắc và đầy đủ Theo công thức xác suất đầy đủ P(B) = P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) + P(A3).P(B|A3) + P(A4).P(B|A4) = 0, 2.0, 75 + 0, 25.0, 82 + 0, 25.0, 84 + 0, 3.0, 8 = 0, 805 Theo công thức Bayes, bệnh nhân điều trị khỏi bệnh từ phương pháp III P(A3|B) = P(A3).P(B|A3) P(B) = 0, 25.0, 84 0, 805 = 0, 2609 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 58 / 70
55. Bernoulli Công thức Bernoulli Giả sử có dãy n phép thử Bernoulli độc lập. Ta gọi mỗi lần A xảy ra là một thành công. Khi đó xác suất để có k (0 ≤ k ≤ n) thành công tức biến cố A xảy ra k lần trong n phép thử này, ký hiệu là B(k, n, p) (hoặc đơn giản (Pn(k)) khi không có sự nhầm lẫn về p), được tính bởi công thức: Pn(k) = B(k, n, p) = Ck n pk qn−k , với q = 1 − p Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 59 / 70
56. Bernoulli Ví dụ 32. Một xạ thủ bắn lần lượt 20 viên đạn vào một tấm bia, xác suất bắn trúng của mỗi viên là 0,4. Tính xác suất để tấm bia trúng 10 viên đạn. Giải. Việc xạ thủ bắn lần lượt 20 viên đạn vào tấm bia chính là thực hiện một dãy n = 20 phép thử Bernoulli; Xác suất biến cố bia trúng đạn trong mỗi lần bắn là p = 0, 4 Xác suất để tấm bia trúng 10 viên đạn, theo công thức Bernoulli P20(10) = C10 20 .0, 410 .0, 610 = 0, 117 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 60 / 70
57. 1 (30’) Câu 1. Thùng I có 8 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu; thùng thứ II có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp ra hai sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được 3 sản phẩm tốt. A. 304/675 B. 204/675 C. 36/225 D. 371/675 Câu 2. Một phân xưởng có 3 dây chuyền sản xuất: Dây chuyền I cung ứng 28% tổng sản phẩm, dây chuyền II cung ứng 30% tổng sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 3%, 5% và 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ phân xưởng để kiểm tra. Xác suất để sản phẩm đó là chính phẩm là: A. 96.82% B. 92.68% C. 7.32% D. 94.35% Câu 3. Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn là 0,6. Hỏi phải bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất bia trúng đạn không nhỏ hơn 99%. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Câu 4. Một hộp có 16 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ hộp để kiểm tra. Xác suất để có hai sản phẩm tốt là: A. 0,1179 B. 0,3648 C. 0,4714 D. 0,1286 Câu 5. Một lớp học có 25 sinh viên nữ và 15 sinh viên nam. Giáo viên chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra lần lượt 2 bạn (mỗi lần chọn 1 bạn), biết rằng lần chọn đầu phải là nữ. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn theo thứ tự nêu trên? A. 375 B. 1000 C. 975. D. 600 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 63 / 70
58. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 64 / 70
59. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 65 / 70
60. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 66 / 70
61. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 67 / 70
62. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 68 / 70
63. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 69 / 70
64. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giải tích tổ hợp Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa xác suất Một số công thức tính xác suất 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 70 / 70
65. VÀ THỐNG KÊ Y DƯỢC Chương 2. BIẾN NGẪU NHIÊN Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành Ngày 29 tháng 8 năm 2022 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 1 / 55
66. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 3 / 55
67. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 4 / 55
68. DUNG 2-1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2-2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên 2-3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên 2-4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập 2-5 Hàm của biến ngẫu nhiên 2-6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 5 / 55
69. biến ngẫu nhiên Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên (random variable) với giá trị thực là một hàm số đo được trên một không gian xác suất: X : (Ω, P) → R Hình: Biến ngẫu nhiên X. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 6 / 55
70. biến ngẫu nhiên Ví dụ 1. Thực hiện phép thử tung đồng xu 3 lần, gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mặt sấp có được trong 3 lần tung. Ta có không gian mẫu của phép thử Ω = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS} Và biến ngẫu nhiên X : Ω → R có các giá trị như sau: X(NNN)=0, X(NNS)=1, X(NSN)=1, X(NSS)=2, X(SNN)=1, X(SNS)=2, X(SSN)=2, X(SSS)=3. Như vậy về mặt xác suất của biến ngẫu nhiên ta có: P(X = 0) = 1 8 ; P(X = 1) = 3 8; P(X = 2) = 3 8 ; P(X = 3) = 1 8 Lưu ý. Ký hiệu P(X = 2) = 3 8 có thể hiểu là xác suất tung đồng xu 3 lần 2 lần được sấp là bằng 3/8. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 7 / 55
71. biến ngẫu nhiên ⋆ Người ta thường dùng các chữ in X; Y ; Z... để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữ thường x; y; z ... để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên. ⋆ Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x là X = x và xác suất để X nhận giá trị x là P(X = x). ⋆ Có hai loại biến ngẫu nhiên: 1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2 Biến ngẫu nhiên liên tục ⋆ Biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu tập giá trị của biến ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị. Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc x1, x2, ..., xn. ⋆ Biến ngẫu nhiên liên tục: là biến ngẫu nhiên mà các giá trị của nó lấp đầy một hoặc một số khoảng nào đó trên trục số thực, hoặc toàn bộ trục số thực. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 8 / 55
72. biến ngẫu nhiên 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất X x1 x2 · · · xk · · · P(X = xi ) p1 p2 · · · pk · · · Tính chất 1 pi ≥ 0, ∀i, 2 +∞ ∑ i=1 P (X = xi ) = +∞ ∑ i=1 pi = 1 3 P(a ≤ X ≤ b) = ∑ a≤xi ≤b P(X = xi ) = ∑ a≤xi ≤b pi . Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 9 / 55
73. biến ngẫu nhiên 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có luật phân phối xác suất như sau: X 0 1 4 6 P 3/10 4/10 m 2/10 Tìm a) m = 1 − (3/10 + 4/10 + 2/10) = 1/10 b) P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X = 1) = 4/10 c) P(1 X 6) = P(X = 4) = 1/10 d) P(X2 ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) = 3/10 + 4/10 = 7/10 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 10 / 55
74. biến ngẫu nhiên 2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục - Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function) Định nghĩa (Hàm mật độ xác suất) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X, có tập giá trị D, hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là hàm f (x) thỏa với mọi a, b ∈ D thì: P(a ≤ X ≤ b) = b R a f (x)dx P(a ≤ X ≤ b) = b R a f (x)dx P(a ≤ X ≤ b) = b R a f (x)dx Hàm f (x) xác định trên R thỏa mãn các tính chất sau: 1 f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R, 2 +∞ R −∞ f (x)dx = 1. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 11 / 55
75. biến ngẫu nhiên 2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function) Ví dụ 3. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ dạng f (x) = kx3, khi 0 x 1 0, khi x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 1 Xác định hằng số k 2 Tính P(0.4 ≤ X ≤ 0.6), 1. Theo tính chất (2) ta có R +∞ −∞ f (x)dx = 1 ⇔ R 0 −∞ 0dx + R 1 0 kx3dx + R +∞ 1 0dx = 1 ⇔ k R 1 0 x3dx = 1 ⇔ k 1 4 = 1 ⇔ k = 4. 2. P(0, 4 ≤ X ≤ 0, 6) = R 0,6 0,4 4x3dx = 13 125 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 12 / 55
76. phối xác suất 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F(x), là một đại lượng cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm về phía bên trái của số nào đó: F(x) = P(X ≤ x), với mọi x ∈ R. Hàm phân phối xác suất hay còn gọi là hàm phân phối tích lũy. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 13 / 55
77. phối xác suất 2.3.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc F(x) = P(X ≤ x) = ∑ xi x P(X = xi ) = ∑ xi x pi F(x) = P(X ≤ x) = ∑ xi x P(X = xi ) = ∑ xi x pi F(x) = P(X ≤ x) = ∑ xi x P(X = xi ) = ∑ xi x pi Bảng phân phối xác suất X x1 x2 · · · xk · · · xn P(X = x) p1 p2 · · · pk · · · pn F(x) =                0 ; x x1 p1 ; x1 ≤ x x2 p1 + p2 ; x2 ≤ x x3 . . . . . . . . . p1 + p2 + . . . + pn−1 ; xn−1 ≤ x xn 1 ; xn ≤ x Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 14 / 55
78. phối xác suất 2.3.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 4. Tìm hàm phân phối xác suất X -2 -1 1 3 P 0,1 0,3 0,4 0,2 F(x) =            0 ; x −2 0, 1 ; −2 ≤ x −1 0, 4 ; −1 ≤ x 1 0, 8 ; 1 ≤ x 3 1 ; 3 ≤ x Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 15 / 55
79. phối xác suất 2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục F(x) = P(X ≤ x) = x R −∞ f (t)dt, ∀x ∈ R F(x) = P(X ≤ x) = x R −∞ f (t)dt, ∀x ∈ R F(x) = P(X ≤ x) = x R −∞ f (t)dt, ∀x ∈ R Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 16 / 55
80. phối xác suất 2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 5. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suất f (x) = 4x3, khi 0 x 1 0, khi x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 Lập hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên X. Nếu x 0 ta có F(x) = R x −∞ f (t)dt = R x −∞ 0dt = 0 Nếu 0 ≤ x 1 ta có F(x) = R x −∞ f (t)dt = R 0 −∞ 0dt + R x 0 f (t)dt = R x 0 4t3dt = t4
81.
82. ≤ x ta có F(x) = R x −∞ f (t)dt = R 0 −∞ 0dt + R 1 0 f (t)dt + R x 1 0dt = R 1 0 4t3dt = 1 Vậy hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X có dạng F(x) =    0 , x 0 x4 , 0 ≤ x 1 1 , 1 ≤ x Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 17 / 55
83. phối xác suất 2.3.3 Tính chất Tính chất 1 0 ≤ F(x) ≤ 1, 2 F(x) là hàm không giảm, liên tục trái, 3 F(+∞) = 1, F(−∞) = 0, 4 Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, nếu F khả vi tại điểm x thì F′(x) = f (x). Hệ quả Nếu X liên tục thì P(a ≤ X ≤ b) = P(a X ≤ b) = P(a ≤ X b) = P(a X b) = F(b) − F(a). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 18 / 55
84. ngẫu nhiên độc lập Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi xác suất biến ngẫu nhiên này nhận giá trị không ảnh hưởng đến xác suất biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị. Và theo công thức nhân xác suất ta có: P[(X = xi ) · (Y = yj )] = P (X = xi ) · P (Y = yj ) = pi qj ∀i, j P[(X = xi ) · (Y = yj )] = P (X = xi ) · P (Y = yj ) = pi qj ∀i, j P[(X = xi ) · (Y = yj )] = P (X = xi ) · P (Y = yj ) = pi qj ∀i, j Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 19 / 55
85. ngẫu nhiên độc lập Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập Ta có biến ngẫu nhiên X + Y có bảng phân phối xác suất dạng: Bảng phân phối xác suất X + Y z1 z2 · · · zk · · · zn P P1 P2 · · · Pk · · · Pn Trong đó {z1; z2; . . . ; zk } ≡ xi + yj /i = 1, n; j = 1, m Và Pi = P (X + Y = zi ) = ∑ xi ;yj :xi +yj =zi P (X = xi ) · P (Y = yj ) = ∑ xi ;yj :xi +yj =zi pi qj Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 20 / 55
86. ngẫu nhiên độc lập Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập Ví dụ 6. X -1 1 2 3 P(X = x) 0,3 0,4 0,2 0,1 Y 1 3 5 P(Y = y) 0,3 0,5 0,2 Ta có bảng phân phối xác suất của X + Y dạng: X + Y 0 2 3 4 5 6 7 8 P 0,09 0,27 0,06 0,29 0,1 0,13 0,04 0,02 Trong đó: P(X + Y = 0) = P(X = −1).P(Y = 1) = 0, 3.0, 3 = 0, 09 P(X + Y = 2) = P(X = −1).P(Y = 3) + P(X = 1).P(Y = 1) = 0, 3.0, 5 + 0, 4.0, 3 = 0, 27 · · · Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 21 / 55
87. ngẫu nhiên độc lập Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập Tương tự trong một trường hợp khác nếu ta kết hợp X.Y thì bảng phân phối xác suất có cấu trúc tương tự: Bảng phân phối xác suất X.Y X.Y z1 z2 · · · zk · · · zn P P1 P2 · · · Pk · · · Pn Trong đó {z1; z2; . . . ; zk } ≡ xi .yj /i = 1, n; j = 1, m Và Pi = P (X.Y = zi ) = ∑ xi ;yj :xi .yj =zi P (X = xi ) · P (Y = yj ) = ∑ xi ;yj :xi .yj =zi pi qj Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 22 / 55
88. biến ngẫu nhiên 2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc Cho biến ngẫu nhiên X và f (x) là một hàm số xác định tại mọi giá trị trong tập giá trị của biến ngẫu nhiên X, thì Y = f (X) là một biến ngẫu nhiên mới và là hàm theo biến ngẫu nhiên X. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X X x1 x2 · · · xn P(X = x) p1 p2 · · · pn Và Y = f (X) là hàm theo biến ngẫn nhiên X. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y Y = f (X) y1 y2 · · · yn P(Y = y) P1 P2 · · · Pn Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 23 / 55
89. biến ngẫu nhiên 2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 7. Cho biến ngẫu nhiên X rời rạc có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 P(X = x) 0,4 0,3 0,2 0,1 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2 có dạng: Y = X2 1 4 9 16 P(Y = y) 0,4 0,3 0,2 0,1 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 24 / 55
90. biến ngẫu nhiên 2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suất f (x). Và Y = h(X) là hàm theo biến ngẫn nhiên X. G(y) = P(Y ≤ y) = P(h(X) ≤ y) = R x,f (x)⩽y f (x)dx G(y) = P(Y ≤ y) = P(h(X) ≤ y) = R x,f (x)⩽y f (x)dx G(y) = P(Y ≤ y) = P(h(X) ≤ y) = R x,f (x)⩽y f (x)dx Và g(y) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên, ta có: g(y) = G′(y). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 25 / 55
91. biến ngẫu nhiên 2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 8. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suất f (x) = 4x3, khi 0 x 1 0, khi x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 Và hàm biến ngẫu nhiên Y = X3, lập hàm mật độ xác suất cho biến ngẫu nhiên Y . Gọi G(y) là hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên Y . G(y) = P(Y ≤ y) = P X3 ≤ y = P(X ≤ 3 √ y) = Z 3 √ y −∞ f (x)dx Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 26 / 55
92. biến ngẫu nhiên 2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 8. f (x) = 4x3, khi 0 x 1 0, khi x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 G(y) = P(Y y) = P X3 y = P(X 3 √ y) = Z 3 √ y −∞ f (x)dx Nếu 3 √ y 0 ⇒ y 0 ta có G(y) = R 3 √ y −∞ 0dx = 0 Nếu 0 ≤ 3 √ y 1 ⇒ y 1 ta có G(y) = R 3 √ y −∞ f (x)dx = R 3 √ y 0 4x3dx = x4
93.
94. ≤ 3 √ y ⇒ 1 ≤ y ta có G(y) = R 3 √ y −∞ f (x)dx = R 1 0 f (x)dx + R 3 √ y 1 0dx = 1 Vậy G(y) =    0 , y 0 y 4 3 , 0 ≤ y 1 1 , 1 ≤ y Ta có hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = X3 có dạng: g(y) = 4 3 3 √ y , y ∈ [0, 1] 0 , y / ∈ [0, 1] Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 27 / 55
95. trưng của biến ngẫu nhiên NỘI DUNG 1. Kỳ vọng 2. Phương sai 3. Độ lệch tiêu chuẩn 4. Giá trị tin chắc nhất (Mode) 5. Trung vị (Median) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 29 / 55
96. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.1. Kỳ vọng Định nghĩa Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất X x1 x2 · · · xk · · · xn · · · P(X = x) p1 p2 · · · pk · · · pn · · · Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E(X), là giá trị trung bình (theo xác suất) của BNN đó. Nó là trung tâm điểm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanh đó. E(X) = x1p1 + x2p2 + · · · + xkpk + · · · = +∞ ∑ i=1 xi pi E(X) = x1p1 + x2p2 + · · · + xkpk + · · · = +∞ ∑ i=1 xi pi E(X) = x1p1 + x2p2 + · · · + xkpk + · · · = +∞ ∑ i=1 xi pi Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 30 / 55
97. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.1. Kỳ vọng Định nghĩa Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là f (x), kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa: E(X) = +∞ R −∞ xf (x)dx E(X) = +∞ R −∞ xf (x)dx E(X) = +∞ R −∞ xf (x)dx Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 31 / 55
98. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.1. Kỳ vọng Ví dụ 9. X -2 -1 1 3 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Tính E(X) = −2.0, 1 + (−1).0, 3 + 1.0, 4 + 3.0, 2 = 0, 5 Ví dụ 10. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: f (x) = 2x, khi x ∈ [0; 1] 0, khi x / ∈ [0; 1] E(X) = +∞ R −∞ xf (x)dx = 1 R 0 x.2xdx = 2 3 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 32 / 55
99. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.1. Kỳ vọng Tính chất 1 E(C) = C (C là hằng số), 2 E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ); E(aX) = aE(X), với a là hằng số. Hệ quả: E(aX ± bY ± c) = aE(X) ± bE(Y ) ± c. 3 Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = E(X)E(Y ). 4 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị x1, x2, ..., xn với xác suất tương ứng p1, p2, ..., pn thì E[φ(X)] = n ∑ i=1 φ(xi )pi . 5 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm mật độ xác suất f (x) thì E[φ(X)] = +∞ R −∞ φ(x)f (x)dx. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 33 / 55
100. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.1. Kỳ vọng Ví dụ 11. Cho biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X -2 -1 1 3 P 0,1 0,3 0,4 0,2 E(X2) = (−2)2.0, 1 + (−1)2.0, 3 + 12.0, 4 + 32.0, 2 = 2, 9 Ví dụ 12. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: f (x) = 2x, khi x ∈ [0; 1] 0, khi x / ∈ [0; 1] E(X3) = +∞ R −∞ x3f (x)dx = 1 R 0 x3.2xdx = 2 5 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 34 / 55
101. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.2. Phương sai Định nghĩa Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là Var(X), được định nghĩa: là sai số bình phương trung bình. Phương sai đo mức độ phân tán của BNN quanh kỳ vọng. Var(X) = E[X − E(X)]2 = E(X2 ) − [E(X)]2 Var(X) = E[X − E(X)]2 = E(X2 ) − [E(X)]2 Var(X) = E[X − E(X)]2 = E(X2 ) − [E(X)]2 Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Var(X) = E(X2) − [E(X)]2 = ∞ ∑ i=1 x2 i pi − ( ∞ ∑ i=1 xi pi )2 Var(X) = E(X2) − [E(X)]2 = ∞ ∑ i=1 x2 i pi − ( ∞ ∑ i=1 xi pi )2 Var(X) = E(X2) − [E(X)]2 = ∞ ∑ i=1 x2 i pi − ( ∞ ∑ i=1 xi pi )2 Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục Var(X) = E X2 − (EX)2 = R +∞ −∞ x2f (x)dx − R +∞ −∞ xf (x)dx 2 Var(X) = E X2 − (EX)2 = R +∞ −∞ x2f (x)dx − R +∞ −∞ xf (x)dx 2 Var(X) = E X2 − (EX)2 = R +∞ −∞ x2f (x)dx − R +∞ −∞ xf (x)dx 2 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 35 / 55
102. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.2. Phương sai Ví dụ 13. Cho biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X -2 -1 0 2 P 0,05 0,15 0,25 0,55 Phương sai của X Var(X) = E X2 − (EX)2 = [(−2)2.0, 05 + (−1)2.0, 15 + 02.0, 25 + 22.0, 55)] − [−2.0, 05 − 1.0, 15 + 0.0, 25 + 2.0, 55]2 = 1.8275 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 36 / 55
103. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.2. Phương sai Ví dụ 14. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x) = ( 4x3, khi x ∈ (0; 1) 0, khi x / ∈ (0; 1) Phương sai của biến ngẫu nhiên X là: Var X = E X2 − (EX)2 = Z +∞ −∞ x2 f (x)dx − Z +∞ −∞ xf (x)dx 2 = Z 1 0 x2 · 4x3 dx − Z 1 0 x · 4x3 dx 2 = Z 1 0 4x5 dx − Z 1 0 4x4 dx 2 = 2 75 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 37 / 55
104. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.2. Phương sai Ý nghĩa 1 X − E(X) là sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó. Do đó, phương sai chính là trung bình của bình phương sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó. Phương sai đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình, nghĩa là phương sai nhỏ thì độ phân tán thấp hay độ tập trung cao, ngược lại phương sai lớn thì độ phân tán cao hay độ tập trung thấp. 2 Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 38 / 55
105. trưng của biến ngẫu nhiên Tính chất Tính chất 1 Var(X) ≥ 0; Var(X) = 0 ⇔ X = C; (C là hằng số), 2 Var(aX) = a2Var(X) 3 Nếu X và Y độc lập thì Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Hệ quả Nếu X và Y độc lập thì Var(aX ± bY ± c) = a2Var(X) + b2Var(Y ). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 39 / 55
106. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.3. Độ lệch tiêu chuẩn Định nghĩa Độ lệch tiêu chuẩn, kí hiệu σ(X), là căn bậc hai của phương sai: σ(X) = p Var(X) σ(X) = p Var(X) σ(X) = p Var(X) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 40 / 55
107. tin chắc nhất (Mode) Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa Mode của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là Mod(X), còn được gọi là giá trị tin chắc nhất hay giá trị có khả năng nhất của X, được xác định như sau: a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Mod(X) là giá trị có xác suất lớn nhất. Ví dụ 15. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X -2 0 1 3 P 0.2 0.3 0.3 0.2 Mod(X) = 0 hoặc Mod(X) = 1 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 41 / 55
108. tin chắc nhất (Mode) Biến ngẫu nhiên liên tục b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X) là giá trị làm cho hàm mật độ đạt cực đại. Ví dụ 16. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) = − 3 32x2 + 3 8 x , khi x ∈ [0; 4] 0 , khi x / ∈ [0; 4] Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của f (x) khi x ∈ [0, 4]. Ta có f ′(x) = − 3 16x + 3 8 , x ∈ [0; 4]. Xét f ′(x) = 0 ta được x = 2. Giá trị f (0) = 0; f (4) = 0; f (2) = 3 8 Vậy Maxx∈[0,4]f (x) = f (2). Vậy Mod(X) = 2. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 42 / 55
109. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.5. Trung vị (Median) Định nghĩa Trung vị của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là Med(X), là giá trị của biến ngẫu nhiên X chia phân phối thành hai phần có xác suất bằng nhau. 1 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc: Med(X) = xi ⇔ F(xi ) ≤ 1 2 ≤ F(xi+1), xi , xi+1 ∈ X(Ω) Med(X) = xi ⇔ F(xi ) ≤ 1 2 ≤ F(xi+1), xi , xi+1 ∈ X(Ω) Med(X) = xi ⇔ F(xi ) ≤ 1 2 ≤ F(xi+1), xi , xi+1 ∈ X(Ω) 2 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục: Med(X) = m ⇔ P(X ≤ m) = P(X ≥ m) = 0.5 ⇔ F(m) = m R −∞ f (x)dx = 0.5 ⇔ F(m) = m R −∞ f (x)dx = 0.5 ⇔ F(m) = m R −∞ f (x)dx = 0.5 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 43 / 55
110. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.5. Trung vị (Median) Ví dụ 17. Cho X có bảng phân phối: X -1 0 1 2 P 0,25 0,15 0,3 0,3 Mod(X) = 1 hoặc Mod(X) = 2 Med(X) =? F(−1) = P(X −1) = 0 F(0) = P(X 0) = P(X = −1) = 0, 25 F(1) = P(X 1) = P(X = −1) + P(X = 0) = 0, 25 + 0, 15 = 0, 4 F(2) = P(X 2) = P(X = −1) + P(X = 0) + P(X = 1) = 0, 25 + 0, 15 + 0, 3 = 0, 7 ⇒ Med(X) = 1 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 44 / 55
111. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.5. Trung vị (Median) Ví dụ 18. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) = ( 4x3, khi x ∈ (0; 1) 0, khi x / ∈ (0; 1) Theo định nghĩa ta có Med(X) = m nếu P(X ≤ m) = P(X ≥ m) = 1 2 với m ∈ (0, 1) ⇔ Z m −∞ f (x)dx = 0, 5 ⇔ Z m 0 4x3 dx = 0, 5 ⇔ x4
112.
113. ⇔ m4 = 1 2 ⇔ m = 1 4 √ 2 Vậy trung vị Med(X) = 1 4 √ 2 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 45 / 55
114. trưng của biến ngẫu nhiên 2.6.6. Các đặc trưng khác 1 Mômen cấp k đối với a của X (µk (a)): µk (a) = E(X − a)k 2 Hệ số biến thiên (CV(X)): Dùng để so sánh mức độ phân tán của các BNN có kỳ vọng và phương sai khác nhau. CV (X) =
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122. bất đối xứng (α3): Dùng để nhận dạng đồ thị của hàm phân phối của BNN. α3 = µ3 σ3 4 Hệ số nhọn (α4): Dùng để xét độ tập trung của phân phối của BNN Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 46 / 55
123. 2 30’ Câu 1. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) = ( ax + 1 2 , khi x ∈ [0, 1] 0, khi x / ∈ [0, 1] Tìm hằng số a. A. 0 B. 1/3 C. 1 D. 1/2 Câu 2. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) = ( x 750 , khi x ∈ [70, 80] 0, khi x / ∈ [70, 80] Tính P(X 75) A. 43/60 B. 1 C. 31/60 D. 23/60 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 48 / 55
124. biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) = ( 0, khi x / ∈ [10, 20] x 150 , khi x ∈ [10, 20] Kỳ vọng của X là A. 140/9 B. 75/3 C. 125/6 D. 0.7 Câu 4. Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập, biết E(X) = 2, Var(X) = 4, E(Y ) = 3, Var(Y ) = 10. Tìm E[(3X + 4Y )2] A. 340 B. 77 C. 520 D. 18 Câu 5. Trong nhà nuôi 3 con gà, xác suất đẻ trứng của mỗi con gà lần lượt là 0,6; 0,5; 0,8. Gọi X là số trứng thu được trong ngày. Tính Mod(X). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 49 / 55
125. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 50 / 55
126. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 51 / 55
127. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 52 / 55
128. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 53 / 55
129. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 54 / 55
130. CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 55 / 55
131. VÀ THỐNG KÊ Y DƯỢC Chương 3. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành Ngày 29 tháng 8 năm 2022 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 1 / 48
132. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 3 / 48
133. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 4 / 48
134. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 5 / 48
135. PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG NỘI DUNG Biến ngẫu nhiên rời rạc 3-1 Phân phối nhị thức 3-2 Phân phối siêu bội 3-3 Phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên liên tục 3-4 Phân phối chuẩn 3-5 Phân phối Chi bình phương, Phân phối Student Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 6 / 48
136. RỜI RẠC NỘI DUNG 3-1 Phân phối nhị thức 3-2 Phân phối siêu bội 3-3 Phân phối Poisson Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 7 / 48
137. NHỊ THỨC Định nghĩa Phép thử Bernoulli. Phép thử mà ta chỉ quan tâm đến biến cố A có xảy ra hay không được gọi là phép thử Bernoulli. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên Bernoulli. Thực hiện một phép thử Bernoulli, ta quan tâm đến biến cố A có xảy ra hay không. Đặt: X = ( 0, nếu biến cố A không xảy ra 1, nếu biến cố A xảy ra Giả sử P(A) = P(X = 1) = p . Khi đó biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số p, ký hiệu X ∼ B(p) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 8 / 48
138. NHỊ THỨC Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Bernoulli có dạng X 0 1 P q = 1 − p p Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 9 / 48
139. nhị thức Định nghĩa Thực hiện n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là p. Đặt biến ngẫu nhiên Xi = ( 0, nếu biến cố A không xảy ra ở lần thứ i 1, nếu biến cố A xảy ra ở lần thứ i Biến ngẫu nhiên X = X1 + X2 + ... + Xn chỉ số lần A xảy ra trong n lần thực hiện. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức tham số n và p; ký hiệu X ∼ B(n, p). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 10 / 48
140. nhị thức Ví dụ 1. Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập, xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0.7. Gọi các biến ngẫu nhiên: Xi = ( 0 nếu phát đạn thứ i không trúng mục tiêu 1 nếu phát đạn thứ i trúng mục tiêu 1 Tính xác suất có 2 phát trúng mục tiêu. 2 Tính xác suất cả 3 phát trúng mục tiêu. Gọi X biến ngẫu nhiên số phát trúng mục tiêu trong 3 phát. Giá trị có thể của X là 0; 1; 2; 3. Ta thử tính xác suất có 2 phát trúng mục tiêu: Nếu viên 1,2 trúng: P(X = 2) = 0, 7.0, 7.0, 3; Viên 1,3 trúng: P(X = 2) = 0, 7.0, 3.0, 7 Nếu viên 2,3 trúng: P(X = 2) = 0, 3.0, 7.0, 7 • 1) Xác suất có 2 phát trúng mục tiêu P(X = 2) = 3.0, 72.0, 3 • 2) Xác suất có 3 phát trúng mục tiêu P(X = 3) = 0, 73 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 11 / 48
141. nhị thức Định lý ⋆ Xét X ∼ B(n, p). Xác suất có đúng k lần biến cố A xảy ra P(X = k) = Ck n pkqn−k; k = 0, 1, ..., n ⋆ Kỳ vọng: E(X) = np ⋆ Phương sai: Var(X) = npq ⋆ Độ lệch chuẩn: σ(X) = p Var(X) = √ npq ⋆ Mod(X): np − q ≤ Mod(X) ≤ np − q + 1 với q = 1 − p Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 12 / 48
142. nhị thức Ví dụ 2. Tỷ lệ phế phẩm trong lô sản phẩm là 3%. Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm ra kiểm tra. Tìm xác suất để trong đó: 1 Có 3 phế phẩm 2 Có không quá 3 phế phẩm 3 Có ít nhất 3 phế phẩm Ta thấy việc lấy ra 100 sp như là n = 100 phép thử với xác xuất lấy ra phế phẩm p = 0.03. 1) Gọi A: biến cố lấy ra 3 phế phẩm. Áp dụng công thức Bernoulli: P(A) = P(X = 3) = C3 100(0.03)3(1 − 0.03)97 = 0.2275 2) B: biến cố lấy ra không quá 3 phế phẩm. P(B) = P(0 ≤ X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.6472 3) C: biến cố lấy ra ít nhất 3 phế phẩm. P(C) = P(X ≥ 3) = 1 − P(X 3) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] = 1 − 0, 4198 = 0, 5802. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 13 / 48
143. nhị thức Ví dụ 3. Quan sát quyết định mua hàng của 5 khách hàng bước vào một cửa hàng quần áo. Dựa trên kinh nghiệm từ trước, quản lý cửa hàng ước lượng xác suất khách hàng sẽ mua hàng là 0,3 và biết các khách hàng mua hàng độc lập với nhau. Các vấn đề liên quan đến số lượng khách hàng mua hàng gồm: 1 Xác suất có 3 khách hàng sẽ mua hàng là bao nhiêu. P(X = 3) = C3 5 (0, 3)3(0, 7)2 = 0, 1323 2 Trung bình sẽ có bao nhiêu khách hàng sẽ mua hàng. E(X) = np = 5.0, 3 = 1, 5 3 Độ lệch trung bình xung quanh giá trị trung bình của khách hàng sẽ mua hàng là bao nhiêu. σ(X) = p Var(X) = √ npq = √ 5.0, 3.0, 7 = 1, 0247 4 Số khách hàng chắc chắn nhất sẽ mua hàng là bao nhiêu. np − q ≤ Mod(X) ≤ np − q + 1 ⇔ 5.0, 3 − 0, 7 ≤ Mod(X) ≤ 5.0, 3 − 0, 7 + 1 ⇔ 0, 8 ≤ Mod(X) ≤ 1, 8 ⇔ Mod(X) = 1 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 14 / 48
144. siêu bội Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với tham số N, NA, n, kí hiệu X ∼ H(N, NA, n), nếu X nhận giá trị nguyên từ max{0, n − (N − NA)} đến min{n, NA} và P(X = k) = Ck NA Cn−k N−NA Cn N Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 15 / 48
145. siêu bội Ví dụ 4. Bộ phận marketing của một doanh nghiệp có 50 nhân viên trong đó có 30 nhân viên nữ. Cần chọn 10 nhân viên tiếp thị cho một sản phẩm mới, giả sử khả năng được chọn của các nhân viên là như nhau. Gọi X là số nhân viên nữ được chọn. Tính xác suất có 1 Không quá 3 nhân viên nữ được chọn. 2 Ít nhất một nhân viên nữ được chọn Giải. X là số nhân viên nữ được chọn, khi đó X ∼ H(50; 30; 10) 1 P(X ≤ 3) =P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = C0 30C10 20 C10 50 + C1 30C9 20 C10 50 + C2 30C8 20 C10 50 + C3 30C7 20 C10 50 ≈ 0.03648 2 P(X ≥ 1) = 1 − P(X 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − C0 30C10 20 C10 50 ≈ 0.99998 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 16 / 48
146. siêu bội Định lý (Các đặc trưng của Phân phối siêu bội) Nếu biến ngẫu nhiên X ∼ H(N, NA, n) thì ⋆ Kỳ vọng: EX = np với p = NA N ⋆ Phương sai: Var X = npq N−n N−1 với q = 1 − p ⋆ Giá trị Mod: (n+1)(NA+1) N+2 − 1 ≤ Mod X ≤ (n+1)(NA+1) N+2 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 17 / 48
147. Poisson Số các biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian cho trước. Số các biến cố trung bình trên một đơn vị là λ. Ví dụ 5. Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị, số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1 ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1 khu vực,... Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nguyên dương k = 0, 1, 2... với xác suất P(X = k) = e−λλk k! , k = 0, 1, 2, ... P(X = k) = e−λλk k! , k = 0, 1, 2, ... P(X = k) = e−λλk k! , k = 0, 1, 2, ... được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P(λ). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 18 / 48
148. Poisson Các số đặc trưng của phân phối Poisson ⋆ E(X) = Var(X) = λ ⋆ λ − 1 ≤ Mod(X) ≤ λ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 19 / 48
149. Poisson Ví dụ 6. Tại một nhà máy dệt, trung bình có 8 ống sợi bị đứt trong hai giờ. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt. Giải. Gọi X là số ống sợi bị đứt trong một giờ, X ∼ P(4). Ta cần tìm xác suất P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = e−4.40 0! + e−4.41 1! + e−4.42 2! = 13e−4 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 20 / 48
150. Poisson Ví dụ 7. Tại một trường đại học mở một khóa học, và học viên đăng ký qua điện thoại, theo kinh nghiệm trong những đợt ghi danh trước thì trung bình cứ 2 phút có 1 cuộc gọi đến. Để đạt hiệu quả cao trong việc tiếp học viên, quản lý phòng ghi danh cần quan tâm đến việc bố trí nhân viên trực phù hợp thông qua các vấn đề 1 Xác suất có 5 học viên gọi đến trong 10 phút. 2 Trung bình có bao nhiêu học viên gọi đến trong 10 phút. 3 Độ lệch chuẩn về số lượng học viên gọi đến trong 10 phút. 4 Số lượng học viên gọi điện đến chắc chắn nhất trong 10 phút là bao nhiêu. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 21 / 48
151. Poisson Ví dụ 7: Gọi X là số cuộc gọi đến trong 10 phút. X ∼ P(λ) Trung bình trong 10 phút có 5 cuộc gọi đến. X ∼ P(λ = 5) 1 Xác suất có 5 học viên gọi đến trong 10 phút. P(X = 5) = e−5.55 5! = 0.1755 2 Trung bình có bao nhiêu học viên gọi đến trong 10 phút. E(X) = λ = 5 3 Độ lệch chuẩn về số lượng học viên gọi đến trong 10 phút. σ(X) = p Var(X) = √ 5 = 2.2361 4 Số lượng học viên gọi điện đến chắc chắn nhất trong 10 phút là bao nhiêu. λ − 1 ≤ Mod(X) ≤ λ ⇔ 4 ≤ Mod(X) ≤ 5 ⇔ Mod(X) = 4 hoặc Mod(x) = 5 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 22 / 48
152. Poisson Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 23 / 48
153. Poisson Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson: Nếu X ∼ B(n, p) với n → ∞ và xác suất P(A) = p → 0 sao cho λ = np thì X F → P(λ), nghĩa là phân phối nhị thức B(n, p) với n đủ lớn xấp xỉ phân phối Poisson P(λ) với λ = np. Ý nghĩa trong thực hành tính toán: 1 Nếu X ∼ B(n, p) với n khá lớn, p khá bé (thông thường, khi n 50, p 0.1) thì P(X = k) ≃ e−λλk k! , λ = np P(X = k) ≃ e−λλk k! , λ = np P(X = k) ≃ e−λλk k! , λ = np 2 Do n lớn, p rất bé, từ định lí này người ta còn nói luật phân phối Poisson là luật phân phối của các biến cố hiếm. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 24 / 48
154. Poisson Ví dụ 8. Gieo 1000 hạt giống, biết rằng xác suất không nảy mầm của mỗi hạt giống là 0, 005. Tính xác suất trong 1000 hạt giống đó có 8 hạt không nảy mầm. ⋆ Gọi X là số hạt giống không nảy mầm trong 1000 hạt được gieo thì X có phân phối nhị thức, X ∼ B(1000; 0, 005). ⋆ Dùng công thức xác suất của phân phối nhị thức ta có xác suất cần tìm là P(X = 8) = C8 1000.0, 0058.0, 0995992 = 0.0653 Tuy nhiên ở đây ta có thể tính gần đúng bằng xấp sỉ Poisson như sau: ⋆ Vì n = 1000 khá lớn, p = 0,005 khá bé nên X ≃ P(λ = np = 5). ⋆ Vậy, xác suất có 8 hạt giống không nảy mầm: P(X = 8) = e−5.58 8! = 0.0653. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 25 / 48
155. các phân phối rời rạc Hình: Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 26 / 48
156. LIÊN TỤC NỘI DUNG 3-4 Phân phối chuẩn 3-5 Phân phối Chi bình phương, Phân phối Student Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 27 / 48
157. chuẩn Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (−∞; +∞) được gọi là có phân phối chuẩn với hai tham số là µ và σ2 (σ 0), kí hiệu là X ∼ N(µ, σ2), nếu nó có hàm mật độ xác suất là f (x) = 1 σ √ 2π e − (x−µ)2 2σ2 f (x) = 1 σ √ 2π e − (x−µ)2 2σ2 f (x) = 1 σ √ 2π e − (x−µ)2 2σ2 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 28 / 48
158. chuẩn ⋆ Đồ thị f (x) có dạng hình chuông, trục đối xứng x = µ, các điểm uốn (µ ± σ; 1 σ √ e2π ), nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. ⋆ Biến ngẫu nhiên Z được gọi là có phân phối chuẩn tắc nếu µ = 0 và σ2 = 1. Kí hiệu Z ∼ N(0, 1), tức hàm mật độ xác suất của Z là f (z) = 1 √ 2π e− z2 2 , −∞ z +∞ (hàm Gauss). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 29 / 48
159. chuẩn Các số đặc trưng của Phân phối chuẩn Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì 1 E(X) = µ, Var(X) = σ2 2 Mod(X) = Med(X) = µ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 30 / 48
160. chuẩn Tính xác suất của phân phối chuẩn 1 Hàm Laplace: Cho Z ∼ N(0, 1), đặt φ(x) = 1 √ 2π x R 0 e −z2 2 dz có giá trị được cho trong bảng hàm Laplace (Bảng phụ lục). 2 Tính chất: Hàm Laplace là hàm lẻ, φ(−x) = −φ(x) và đơn điệu tăng. Với x ≥ 4.42 : φ(x) ≃ 0.5; φ(−∞) = −0.5, φ(+∞) = 0.5. 3 Tính xác suất: • Nếu X ∼ N(0, 1) thì P(a ≤ X ≤ b) = φ(b) −φ(a) Đặc biệt P(a X) = 0.5 −φ(a); P(X b) = φ(b) + 0.5 • Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì P(a ≤ X ≤ b) = φ(b−µ σ ) −φ(a−µ σ ) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 31 / 48
161. chuẩn Ví dụ 9. 1 Cho Z ∼ N(0, 1). Tính P(−0, 25 Z 1, 36), P(Z 2, 37), P(Z 2, 58). 2 Trọng lượng của một gói bột giặt là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 5(kg) và độ lệch chuẩn 0.1(kg). Tính tỉ lệ gói bột giặt có trọng lượng từ 4,8kg đến 5,1 kg. 1 P(−0, 25 Z 1, 36) = φ(1, 36) −φ(−0, 25) = φ(1, 36) +φ(0, 25) = 0, 41308 + 0, 09871 = 0, 51179 P(Z 2, 37) = 0, 5 +φ(2, 37) = 0, 99111 P(Z 2, 58) = 0, 5 −φ(2, 58) = 0, 00494. 2 P(4, 8 ≤ X ≤ 5, 1) = φ(5,1−5 0,1 ) −φ(4,8−5 0,1 ) = φ(1) −φ(−2) = φ(1) +φ(2) = 0, 81859 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 32 / 48
162. chuẩn Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 33 / 48
163. chuẩn Giá trị tới hạn Giá trị tới hạn mức α của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc được kí hiệu zα là số thỏa điều kiện P(X zα), tức là φ(zα) = 0.5 − α. Ví dụ 10. z0.025 = 1.96; z0.01 = 2.33. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 34 / 48
164. chuẩn Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn 1 Định lí (Định lí giới hạn địa phương Moivre-Laplace). Cho X ∼ B(n, p) với p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì: lim n→+∞ P(X = k) 1 √ npq f (xk ) = 1 với f (x) = 1 √ 2π e −x2 2 là hàm Gauss. 2 Định lí (Định lí giới hạn Moivre-Laplace). Gọi X ∼ B(n, p), với p không quá gần 0 và không quá gần 1 và Sn = X−np √ npq thì Sn F → N(0, 1) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 35 / 48
165. chuẩn Ý nghĩa trong thực hành tính toán Cho X ∼ B(n, p) và n đủ lớn, p không quá lớn, cũng không quá bé (tùy vào từng trường hợp nhưng trong nhiều trường hợp ta có thể xem điều kiện trên tương đương với np ≥ 5 và nq ≥ 5) thì X ≃ N(µ = np, σ2 = npq). Khi đó, 1 P(X = k) ≃ 1 √ npq f (xk ) với xk = k−np √ npq , f (x) = 1 √ 2π e −x2 2 . 2 P(a ≤ X ≤ b) ≃ φ( b − np √ npq ) −φ( a − np √ npq ). (1) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 36 / 48
166. chuẩn Ví dụ 11. Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại I là 0, 8. Tính xác suất để trong 300 sản phẩm do máy sản xuất ra có từ 232 đến 250 sản phẩm loại I. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 300 sản phẩm do máy sản xuất. Áp dụng công thức (1) ta có P(232 ≤ X ≤ 250) ≈ φ 250 − 300.0, 8 √ 300.0, 8.0, 2 −φ 232 − 300.0, 8 √ 300.0, 8.0, 2 = φ(1, 44) −φ(−1, 15) = 0, 8 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 37 / 48
167. Chi bình phương Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Chi bình phương với n bậc tư do nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f (x) = ( 1 2n/2Γ(n 2 ) e− x 2 x n 2 −1, x 0 0, x ≤ 0 trong đó hàm Γ được xác định bởi Γ(x) = Z +∞ 0 tx−1 e−t dt, x 0 Ký hiệu X ∼ χ2(n). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 38 / 48
168. Chi bình phương Tính chất Cho X ∼ χ2(n). Ta có: 1 EX = n. 2 var X = 2n. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 39 / 48
169. Student Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng f (x) =    1 √ nπ Γ(n+1 2 ) Γ(n 2 ) 1 + x2 n −(n+1 2 ) , x 0 0, x ≤ 0. Ký hiệu X ∼ t(n). Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 40 / 48
170. Student Tính chất 1 Cho X ∼ t(n). Khi đó, EX = 0 khi bậc tự do n 1; var X = n n−2 với n 2 2 Cho X ∼ N (0, 1), Y ∼ χ2(n) và X, Y độc lâp. Khi đó, Z = X q Y n ∼ t(n) Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 41 / 48
171. các phân phối liên tục Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 42 / 48
172. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 44 / 48
173. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 45 / 48
174. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 46 / 48
175. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 47 / 48
176. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 48 / 48
177. VÀ THỐNG KÊ Y DƯỢC Chương 4. LÝ THUYẾT MẪU Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành Ngày 29 tháng 8 năm 2022 Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 1 / 42
178. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU Bài 1 KHÁI NIỆM VỀ TỔNG THỂ VÀ MẪU Bài 2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẪU NHIÊN 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 3 / 42
179. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU Bài 1 KHÁI NIỆM VỀ TỔNG THỂ VÀ MẪU Bài 2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẪU NHIÊN 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 4 / 42
180. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU Bài 1 KHÁI NIỆM VỀ TỔNG THỂ VÀ MẪU Bài 2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẪU NHIÊN 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 5 / 42
181. CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 4 LÝ THUYẾT MẪU Bài 1 KHÁI NIỆM VỀ TỔNG THỂ VÀ MẪU Bài 2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẪU NHIÊN 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ 7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN 8 THỐNG KÊ MÔ TẢ Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 6 / 42
182. DUNG 4-1 Khái niệm về tổng thể và mẫu 4-2 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 7 / 42
183. NIỆM VỀ TỔNG THỂ VÀ MẪU NỘI DUNG 1. Tổng thể và mẫu 2. Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể 3. Các kỹ thuật chọn mẫu ngẫu nhiên 4. Trình bày mẫu cụ thể Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 8 / 42
184. và mẫu Định nghĩa Giả sử ta cần nghiên cứu dấu hiệu nào đó trên các phần tử của một tập hợp chứa rất nhiều phần tử, khi đó ta gọi tập này là tổng thể. Ví dụ 1. Khảo sát chiều cao trung bình của toàn bộ sinh viên ở thành phố A, toàn bộ sinh viên ở thành phố A là tổng thể. Vì có quá nhiều sinh viên không thể điều tra hết được nên ta lấy 500 sinh viên đại diện để khảo sát thì 500 sinh viên này là mẫu, cỡ mẫu là n = 500 . Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 9 / 42
185. nhiên, mẫu cụ thể Định nghĩa Mỗi phần tử của mẫu kích thước n đều được chọn ngẫu nhiên, độc lập nên ta có n biến ngẫu nhiên (X1, X2, ..., Xn) độc lập, cùng phân phối (vì chúng cùng phân phối với X). Ta gọi bộ n biến ngẫu nhiên (X1, X2, ..., Xn) này là một mẫu ngẫu nhiên hay mẫu lý thuyết kích thước n. Ứng với mỗi phép chọn mẫu cụ thể X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn ta được một bộ giá trị (x1, x2, ..., xn) gọi là mẫu cụ thể hay mẫu thực nghiệm. • Lý do chọn mẫu: Không đủ kinh phí, sai số trong điều tra toàn thể, mẫu đủ lớn sẽ ngoại suy ra toàn quần thể. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 10 / 42
186. thuật chọn mẫu ngẫu nhiên 3.1 Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản ⋆ Là mẫu mà tất cả các thể trong quần thể có cùng cơ hội để chọn vào mẫu. ⋆ Cách chọn: Lập danh sách toàn bộ những đơn vị mẫu trong quần thể. Sử dụng phương pháp “bốc thăm” hoặc sử dụng bảng số ngẫu nhiên để chọn đơn vị mẫu Ưu điểm: Cách làm đơn giản, tính đại diện cao. Có thể lòng vào các kỷ thuật chọn mẫu khác Hạn chế: Cần phải có khung mẫu. Các cá thể được chọn vào mẫu có thể phân bố tản mạn. Hình: Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 11 / 42
187. thuật chọn mẫu ngẫu nhiên 3.2 Chọn mẫu phân nhóm ⋆ Là phương pháp chọn mẫu chia tổng thể thành các nhóm tương đối thuần nhất, từ mỗi nhóm lấy ra một mẫu ngẫu nhiên. ⋆ Tập hợp các mẫu đó lập thành một mẫu ngẫu nhiên phân nhóm. Phương pháp này được dùng khi trong tổng thể có những sai khác lớn. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 12 / 42
188. thuật chọn mẫu ngẫu nhiên 3.3 Chọn mẫu chùm (cụm) ⋆ Là phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên từ các tập con của tổng thể, được gọi là các chùm. Mỗi phần tử của tổng thể chỉ được chọn vào một chùm, mỗi chùm cố gắng sao cho có độ phân tán cao như tổng thể và đồng đều về quy mô. ⋆ Phương pháp này có thể tiết kiệm chi phí và thời gian, nhưng sai số chọn mẫu cao hơn các phương pháp trên. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 13 / 42
189. thuật chọn mẫu ngẫu nhiên 3.4 Chọn mẫu có suy luận ⋆ Phương pháp chọn mẫu này dựa trên ý kiến chuyên gia về đối tượng nghiên cứu. Nhược điểm của phương pháp này là khó đảm bảo tính khách quan. Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 14 / 42
190. mẫu cụ thể 4.1 Bảng phân phối thực nghiệm (không ghép lớp) ⋆ Khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau, ta trình bày số liệu dưới dạng bảng gồm hai dòng, dòng trên ghi các giá trị khác nhau của X tăng dần, dòng dưới ghi số lần xuất hiện (tần số) tương ứng của các giá trị này. Bảng phân phối tần số thực nghiệm X x1 x2 · · · xk ni n1 n2 · · · nk Với n1 + n2 + · · · + nk = n. ⋆ Từ tần số ni ta tính được tần suất fi = ni n và có thể trình bày mẫu theo bảng phân phối tần suất thực nghiệm. Bảng phân phối tần suất thực nghiệm X x1 x2 · · · xk fi f1 f2 · · · fk Nguyen Cong Nhut Xác suất và thống kê Y Dược Ngày 29 tháng 8 năm 2022 15 / 42

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập

Các bài tập về xác suất thống kê y dược năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội