- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[{81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\]
Phương pháp giải:
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ\[t = {81^{{{\cos }^2}x}}[1 \le t \le 81]\].
Lời giải chi tiết:
Đặt \[t = {81^{{{\cos }^2}x}}[1 \le t \le 81]\]
Khi đó: \[{81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}\]
Phương trình trở thành:
\[\eqalign{
& {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 27 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{81^{{{\cos }^2}x}} = 27\\{81^{{{\cos }^2}x}} = 3\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{{3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr {3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr 4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{2[1 + \cos 2x] = 3 \hfill \cr 2[1 + \cos 2x] = 1 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr} \]
LG b
\[{\log _3}[\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5] = 2\]
Phương pháp giải:
Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn \[{\log _{\frac{1}{2}}}x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {\log _3}[\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5] = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr
& \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr
{\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}};\,2\} \]
LG c
\[{4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x > 0
\[\eqalign{
& {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {2.3^{\log {x^2}}}{.3^2} = 0\cr &\Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.3^{2\log x}} = 0\cr &\Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr} \]
Chia hai vế phương trình 4logxta được:
\[4 - {[{3 \over 2}]^{\log x}} - 18.{[{9 \over 4}]^{\log x}} = 0\]
Đặt \[t = {[{3 \over 2}]^{\log x}}\,\,[t > 0]\]ta có phương trình:
\[18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2}\,\,[loai] \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{
& t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {[{3 \over 2}]^{\log x}} = {[{3 \over 2}]^{-2}} \cr &\Leftrightarrow \log x = - 2 \cr
& \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr} \]
LG d
\[\left\{ \matrix{
{2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr
{\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}[9y] \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x > 0; y > 0
\[\eqalign{
& {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \cr &\Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2}\,\,\,\,\,[1] \cr
& {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}[9y] \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}[9y] \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{x} + 1 = {\log _3}9y\cr &\Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}[9y] \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \cr &\Leftrightarrow xy = {1 \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2] \cr} \]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr
xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
[{3 \over 2} + 3y]y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = {1 \over 6},y=-{2 \over 3}[loai] \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}[2,\,{1 \over 6}]{\rm{\} }}\]