Ta có: \[\left[ {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right]\left[ {z - 1} \right] \\= z + {z^2} + ... + {z^{10}} \\- \left[ {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right] \\= z + {z^2} + ... + {z^{10}}\\-1-z-z^2-...-z^9\\= {z^{10}} - 1\]
Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số phức \[z \ne 1\], ta có: \[1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thực hiện phép nhân\[\left[ {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right]\left[ {z - 1} \right] \] suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\left[ {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right]\left[ {z - 1} \right] \\= z + {z^2} + ... + {z^{10}} \\- \left[ {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right] \\= z + {z^2} + ... + {z^{10}}\\-1-z-z^2-...-z^9\\= {z^{10}} - 1\]
Vì \[z \ne 1\]nên chia hai vế cho \[z - 1\]ta được: \[1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\]