Đề bài
Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của -1 là [-1] và tính [-1].[-1] như sau:
a] Tính theo định nghĩa của căn bậc hai là -1 thì [-1].[-1]=-1
b] Tính theo tính chất của căn bậc hai [tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó] thì:
[-1].[-1]=[[-1][-1] ]=1=1
Từ đó, học sinh suy ra 1 = 1. Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa căn bậc hai của một số để nhận xét.
Lời giải chi tiết
1. Trước hết không nên kí hiệu [-1] là một căn bậc hai của -1, bởi vì trong phần lí thuyết ta đã biết số -1 có đúng căn bậc hai là: [-[-1] ] i và -[-[-1] ] i. Kí hiệu a chỉ nên dùng khi: Giá trị không âm của căn bậc hai của số thực không âm a mà thôi.
2. Sai lầm chính ở điểm b]. học sinh đó đã xem kí hiệu mới của mình [-1] như là căn bậc hai số học của một số thực không âm, mặc dù rằng [-1] không phải là một số thực. [học sinh đó dùng [-1] để chỉ số ảo i hoặc số ảo -i] và kí hiệu mới [-1] của học sinh đó cũng không có tính chất tương tự như tính chất của a [Với a là số thực không âm] mà bằng chứng là chính mâu thuẫn tìm được trong b]
3. Một sai lầm nữa phải nhắc đến đó là: tính chất trong b] tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của hai số đó là phát biểu sai, chẳng hạn.
Ví dụ: số 2 là một căn bậc hai của 4.
Số -3 là một căn bậc hai của số 9
Số 6 là một căn bậc hai của số 4.9
Theo tính chất trên thì:2[-3] = 6, đường nhiên sai.
Ví dụ 2. Số I là một căn bậc hai của số -1;
Số I +1 là một căn bậc hai của 2i
Số I 1 là một căn bậc hai của số -1.2i
Theo tính chất trên thì:
i[i+1]=1-i -1+i=1-i. Sai bản chất của sai lầm của biến đổi trong b] không phải sai do sai trong 3] mà do sai trong 2]. Nhưng sai lầm trong 3] cũng cần trách.
4. Cần giải thích thêm sự phân tích trong 2] như sau:
Tính chất. nếu x, y là các số thực không âm thì: x y=[x.y] [1]
Khi kí hiệu: [-1].[-1]=[[-1][-1] ]=1, nghĩa là đã xem số -1 thõa mãn tích chất -1 0
Con đường dẫn đến sai lầm của học sinh đó [có lẽ] diễn ta như sự phân tích trong 4].