Câu hỏi:
Cho \[x,y\] là các số thực dương thỏa mãn \[{\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3[y – \sqrt {1 + x} ] – {y^2} + x\].
Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\] bằng
A. \[\sqrt 2 \].
B. \[\sqrt 3 \].
C. \[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
D. \[\frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Với \[x,y\] là các số dương, ta có
\[{\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3[y – \sqrt {1 + x} ] – {y^2} + x \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} – 3y = {\log _2}\sqrt {1 + x}+ [1 + x] – 3\sqrt {1 + x} \].
Xét hàm \[f[t] = {\log _2}t + {t^2} – 3t\] trên \[[0; + \infty ]\].
Ta có \[f'[t] = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t – 3 \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\ln 2}}}- 3 > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\] suy ra hàm số \[f[t]\] đồng biến trên \[[0; + \infty ]\]
Do đó\[ \Leftrightarrow f[y] = f[\sqrt {1 + x} ] \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x}\Leftrightarrow {y^2} = 1 + x\].
Khi đó \[P = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\], ta có \[2[{x^2} + 1] \ge {[x + 1]^2} \Rightarrow \sqrt 2\ge \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\], dấu bằng xảy ra khi \[x = 1\].
Vậy giá trị lớn nhất của \[P\] bằng \[\sqrt 2 \], đạt được khi \[x = 1,y = \sqrt 2 \].
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Cho \[a,\,\,b\] là các số thực dương. Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{{{\left[ {\sqrt[4]{{{a^3}.{b^2}}}} \right]}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}.{b^6}} }}}}\]được kết quả là
A.
B.
C.
D.
12/05/2022 1,687
Chọn C
Ta có: P=a43a=a43.a12=a116.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần
Xem đáp án » 12/05/2022 4,508
Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích khối chóp đã cho bằng
Xem đáp án » 12/05/2022 2,363
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Xem đáp án » 12/05/2022 1,991
Cho ∫124fx−2xdx=1. Khi đó ∫12fxdx bằng :
Xem đáp án » 12/05/2022 707
Cho hàm số y=f[x] xác định, liên tục trên đoạn [-2;3] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số y=f[x] trên đoạn [-2;3].
Xem đáp án » 12/05/2022 491
Tính tổng S của các phần thực của tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z¯=3z2.
Xem đáp án » 12/05/2022 432
Cho A là tập hợp gồm 20 điểm phân biệt. Số đoạn thẳng có hai điểm đầu mút phân biệt thuộc tập A là:
Xem đáp án » 12/05/2022 206
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số có cực đại là
Xem đáp án » 12/05/2022 197
Tính tích phân ∫0πsin3xdx
Xem đáp án » 12/05/2022 179
Số phức z = 5-6i có phần ảo là
Xem đáp án » 12/05/2022 166
Một khối nón có chiều cao bằng 3a, bán kính 2a thì có thể tích bằng
Xem đáp án » 12/05/2022 153
Cho hàm số y=f[x] có bảng biến thiên bên dưới.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án » 12/05/2022 119
Cho khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 3a, chiều cao bằng 4a, với 04\] là