search

Chữ số hàng đơn vị của 2024 2022

Ngày đăng: 28/07/2023
Trả lời: 0
Lượt xem: 135

Như bạn có thể thấy, sức mạnh tăng lên nhanh chóng. Vì vậy, thật hữu ích khi nhận thấy rằng chúng ta chỉ cần xem xét chữ số hàng đơn vị khi đánh giá các lũy thừa lớn. Ví dụ: chữ số hàng đơn vị của 132 bằng chữ số hàng đơn vị của 32, chữ số hàng đơn vị của 135 bằng chữ số hàng đơn vị của 35, v.v.

Show

Tiếp tục, ta được

131 có chữ số hàng đơn vị là 3

132 có chữ số hàng đơn vị là 9

133 có chữ số hàng đơn vị là 7

134 có chữ số hàng đơn vị là 1

135 có chữ số hàng đơn vị là 3

136 có chữ số hàng đơn vị là 9

137 có chữ số hàng đơn vị là 7

138 có chữ số hàng đơn vị là 1

Lưu ý rằng một mô hình đẹp xuất hiện. Chúng tôi nhận được. 3-9-7-1-3-9-7-1-3-9-7-1-…

Như bạn có thể thấy, mô hình lặp lại sau mỗi 4 lũy thừa. Tôi muốn nói rằng "chu kỳ" bằng 4

Bây giờ chúng ta biết chu kỳ là 4, chúng ta có thể thực hiện một quan sát rất quan trọng

Khi n là bội số của 4 thì chữ số hàng đơn vị của 13n là 1

Đó là,

134 có chữ số hàng đơn vị là 1

138 có chữ số hàng đơn vị là 1

1312 có chữ số hàng đơn vị là 1

1316 có chữ số hàng đơn vị là 1

. . vân vân

Lúc này ta tìm được chữ số hàng đơn vị của 1335

Vì 32 là bội của 4 nên 1332 phải có chữ số hàng đơn vị là 1. Từ đây, chúng ta sẽ tiếp tục mô hình

Hệ thống số là một phương pháp biểu diễn các số trên dòng số với sự trợ giúp của một tập hợp các ký hiệu và quy tắc. Các ký hiệu này nằm trong khoảng từ 0-9 và được gọi là chữ số. Hệ thống Số được sử dụng để thực hiện các phép tính toán học, từ các phép tính khoa học tuyệt vời đến các phép tính như đếm số lượng Đồ chơi cho Trẻ em hoặc số lượng sôcôla còn lại trong hộp. Hệ thống số bao gồm nhiều loại dựa trên giá trị cơ bản cho các chữ số của chúng

Chu kỳ của các số. Chu kỳ của bất kỳ số nào chủ yếu tập trung vào chữ số hàng đơn vị của nó. Mỗi chữ số hàng đơn vị có kiểu lặp lại riêng khi nâng lên bất kỳ lũy thừa nào. Khái niệm này được sử dụng rất nhiều trong khi giải các bài toán năng khiếu. Khái niệm về chu kỳ của các số có thể được học bằng cách tìm ra các chữ số hàng đơn vị của tất cả các số có một chữ số từ 0 đến 9 khi được nâng lên các lũy thừa nhất định. Những con số này có thể được phân loại thành ba loại được liệt kê như sau

1. Các chữ số 0, 1, 5 và 6. Ở đây, khi mỗi chữ số này được nâng lên một lũy thừa bất kỳ, thì chữ số hàng đơn vị của đáp án cuối cùng chính là số đó

ví dụ

1. 5 ^ 2 = 25: Unit digit is 5, the number itself.
2. 1 ^ 6 = 1: Unit digit is 1, the number itself.
3. 0 ^ 4 = 0: Unit digit is 0, the number itself.
4. 6 ^ 3 = 216: Unit digit is 6, the number itself.

Dưới đây là một số câu hỏi dựa trên khái niệm trên

Câu hỏi 1. Tìm chữ số hàng đơn vị của 416345

Trả lời. Chỉ cần tìm 6345 sẽ cho 6 là chữ số hàng đơn vị, do đó chữ số hàng đơn vị của 416345 là 6

Câu hỏi 2. Tìm chữ số hàng đơn vị của 23534566

Trả lời. Tìm 534566 biết chữ số hàng đơn vị là 5 nên chữ số hàng đơn vị của 23534566 là 5

2. Chữ số 4 và 9. Cả hai chữ số 4 và 9 này đều có tích hai chữ số khác nhau là chữ số hàng đơn vị

ví dụ

1. 4 ^ 2 = 16: Unit digit is 6.
2. 4 ^ 3 = 64: Unit digit is 4.
3. 4 ^ 4 = 256: Unit digit is 6.
4. 4 ^ 5 = 1024: Unit digit is 4.
5. 9 ^ 2 = 81: Unit digit is 1.
6. 9 ^ 3 = 729: Unit digit is 9.

Có thể nhận thấy các chữ số hàng đơn vị 2, 4, 8, 6 lặp lại sau khoảng thời gian bốn số. Tương tự,

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
3 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
4
6
4 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
6

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
8

 

6
1
3
0 
3
1

3
2

 

3
3

6
4 
3
5

3
6

3
7_______10_______8

3
7_______10_______0 
2
6
1

3
2

Java




2
6
3

2
6
4

2
6
5 
2
6
6

 

2
6
7 
2
6
8

6
1// Efficient C++ program to0

6
1// Efficient C++ program to2 
6
4 
6
5
6
4 
6
7
6
4 
6
9

6
1
6
0

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
2

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4 // find unit digit of x^y.7// find unit digit of x^y.8// find unit digit of x^y.9

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
9

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
3 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
4
6
4 #include 9using0using1

using2_______722_______3using4// find unit digit of x^y.9

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 
3
1

6
1
3
2

6
1

6
1
3
3

6
1
6
06 // Efficient C++ program to2 
6
08 
6
09
6
10 
6
11

6
1
6
0

6
1
6
15
6
16
6
17
6
18
6
19

6
1
3
2

3
2

 

6
23

Python3




6
24

6
25

 

6
26

6
27

6
28 
6
29

 

6
1
6
31

6
1_______2_______33

6
1
6
35
6
36 // find unit digit of x^y.8

6
1

6
1
6
40

6
1
6
42

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
3 
6
45_______2_______46 
6
47
6
48

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
35_______2_______36 
6
52_______2_______53 
6
54
6
55 using4

6
1

6
1
3
0 
6
35

6
1

6
62

6
63
6
64
6
16
6
17
6
18
6
68

 

 

6
69

C#




2
6
3

2
6
4

using 

6
73

 

2
6
7 
6
75

6
0

6
1// Efficient C++ program to0

6
1// Efficient C++ program to2 
6
4 
6
5
6
4 
6
7
6
4 
6
9

6
1
6
0

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
2

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4 
6
7

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
9

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
3 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
4
6
4 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
6

using2______3_______8

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 
3
1

6
1
3
2

6
1

6
1
3
3

6
1
6
06 // Efficient C++ program to2 
6
08 
6
21

6
1
6
0

6
1
6
25

6
1
3
2

3
2

 

6
29

PHP




6
30

6
31

// find unit digit of x^y.

 

6
2

6
3

6
35 
6
5_______2_______37
6
17
6
39
6
40

6
0

6
1
6
2

6
1
6
4

6
1_______2_______47 
6
48

 

6
1
6
9

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
1

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
3 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
4
6
56 
6
57
6
56 
6
59
6
39// find unit digit of x^y.9
6
56
6
63

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
47 
6
66
6
47 
6
53
6
37
6
70

 

6
1
3
0 
6
47// find unit digit of x^y.9

3
2

 

6
76

6
77
6
78

 

6
79

6
80

Javascript




6
81

 

6
82

// find unit digit of x^y.

 

6
2

6
3

6
35 
6
87

6
0

6
1

6
1
6
2

6
1
6
4

6
1_______2_______95

 

6
1
6
9

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
1

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
3
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
02

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
8

 

6
1
3
0 
3
1

3
2

 

6
76

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
10

 

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
11

 

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
12

Đầu ra

6

đầu ra.  

6

Thời gian phức tạp. O(y), trong đó y là lũy thừa
Không gian phụ trợ. O(1), vì không cần thêm dung lượng
Tối ưu hóa hơn nữa. Chúng ta có thể tính toán sức mạnh mô-đun trong Log y

Cách 3 (Trực tiếp dựa trên tính chất tuần hoàn của chữ số cuối cùng)
Phương pháp này phụ thuộc vào chu kỳ với chữ số tận cùng của x là

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9

Vì vậy, ở đây chúng tôi trực tiếp sửa đổi lũy thừa y bằng 4 vì đây là lũy thừa cuối cùng sau khi bắt đầu lặp lại tất cả các số này
sau đó, chúng ta chỉ cần cấp nguồn cho số x chữ số cuối cùng, sau đó chúng ta nhận được chữ số hàng đơn vị của số được sản xuất.  

C++




x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
13

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
14

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
15

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
16

using 

6
0 
6
1

 

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
20

6
4 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
22_______2_______4 
6
7
6
4 
6
9

6
0

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
29

6
1_______3_______31

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
32

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
34

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
37

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
39

 

6
1_______3_______41

6
1_______3_______43

6
1_______3_______45

6
1
3
0 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
48_______2_______4
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
50
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
51
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
52

3
2

 

6
4 
3
5

6
0

6
1
6
4 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
59

6
1

6
1____3_______62

6
1____3_______64

6
1____3_______66

6
1____3_______68

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
69

6
1
3
0 
2
6
1

3
2

Java




x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
74

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
75

2
6
5 
2
6
6

2
6
5 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
79

 

2
6
7 
2
6
8

6
1

6
1_______3_______20

6
1// Efficient C++ program to2 
6
4 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
22
6
4 
6
7
6
4 
6
9

6
1
6
0

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
29

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
98using4// find unit digit of x^y.9

using2

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
34

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36
3
06using0
6
40

3
09_______10_______10
6
16 
3
12
6
16// find unit digit of x^y.9

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
41

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
43

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
45

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
48
6
4
3
26using4
3
28

6
1
3
2

6
1

6
1

6
1
6
06 // Efficient C++ program to2 
6
08 
3
37

6
1
6
0

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4 
3
42
3
43
3
44
3
45// find unit digit of x^y.9

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
62

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
51

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
66

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
55

6
1

6
1
3
2

3
2

 

3
60

Python3




3
61

3
62

2
6
5 
3
64

 

3
65

6
28 
3
67

 

6
1
3
69

6
1
3
71
6
36 
3
71____2_______55 using4

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7

6
1
3
78

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36 
3
81
6
36using0
3
84

3
85
3
86
6
36 
3
86
6
55 
6
16 
3
12 
6
16

 

6
1
3
94

6
1
3
96

6
1
3
98

6
1
3
0 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
48_______2_______4
2
6
03
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
51
2
6
05
6
55 using4
6
40

 

 

2
6
09

3
71
6
36 
3
43
2
6
13
6
36 
3
45

6
1

2
6
17

2
6
18

2
6
19

6
63
2
6
21

 

 

2
6
22

C#




2
6
23

2
6
24

using 

6
73

 

2
6
7 
2
6
8

6
1

6
1_______3_______20

6
1// Efficient C++ program to2 
6
4 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
22
6
4 
6
7
6
4 
6
9

6
1
6
0

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
29

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
31

using2

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
34

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
37

3
09______3_______39

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
41

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
43

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
45

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
48
6
4
2
6
65

6
1
3
2

6
1

6
1
2
6
70

6
1
6
06 // Efficient C++ program to2 
6
08 
2
6
75

6
1
6
0

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
59

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
62

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
51

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
66

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
2
6
89

6
1

6
1
3
2

3
2

 

6
29

PHP




6
30

2
6
96

2
6
24

 

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
20

6
35 
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
22
6
37
6
17_______2_______39
6
40

6
0

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
29

6
1
6
37 
6
36
6
37 // Efficient C++ program to12

6
1

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
34

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
4
6
39// Efficient C++ program to20

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
39 
6
36
6
39 // Efficient C++ program to25

 

6
1_______3_______41

6
1_______3_______43

6
1_______3_______45

6
1
3
0 // Efficient C++ program to34
6
37
6
17
6
39// Efficient C++ program to38

3
2

 

2
6
70

6
37 // Efficient C++ program to42
6
39 // Efficient C++ program to44

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
62

3
51

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
66

6
77// Efficient C++ program to50
6
37
6
17
6
39
6
19

 

6
79

6
80

Javascript




6
81

 

// Efficient C++ program to58

2
6
24

 

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
20

6
35 // Efficient C++ program to62

6
0

6
1

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
29

6
1_______3_______31

6
1

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
34

6
1_______3_______36 // Efficient C++ program to74

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
39

 

6
1_______3_______41

6
1_______3_______43

6
1_______3_______45

6
1
3
0 // Efficient C++ program to85

3
2

 

2
6
70

// Efficient C++ program to88

// Efficient C++ program to89

6
1

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
62

3
51

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
66

// Efficient C++ program to94

 

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
11

 

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
12

Đầu ra

3

Thời gian phức tạp. O(log n)
Không gian phụ trợ. Ô(1)

Tiếp cận. Phương pháp khai triển nhị thức

Sau đây là các bước tìm chữ số hàng đơn vị của x lũy thừa y bằng phương pháp Khai triển nhị thức

1. Xử lý các trường hợp đặc biệt

Nếu y bằng 0, trả về 1 vì bất kỳ số nào được nâng lên lũy thừa 0 đều bằng 1
Nếu x là 0, trả về 0 vì bất kỳ số nào lũy thừa 0 đều là 1 và chữ số hàng đơn vị của 0 là 0

2. Tính số hạng thứ y trong khai triển của (x+10)^y sử dụng định lý nhị thức

Thuật ngữ thứ y trong khai triển được cho bởi. C(y, 0)x^y10^0 + C(y, 1)*x^(y-1)*10^1 + … + C(y, y)x^010^y
Ở đây, C(y, k) đại diện cho hệ số nhị thức, bằng với y. / (k. * (y-k). )
Ta chỉ cần tính số hạng cuối cùng trong khai triển này là C(y, y)x^010^y

3. Tìm chữ số hàng đơn vị của số hạng thứ y

Chữ số hàng đơn vị của số hạng thứ y bằng chữ số tận cùng của số hạng thứ y
Chúng ta có thể tìm chữ số tận cùng của số hạng thứ y bằng cách lấy phần còn lại của số hạng đó khi chia cho 10

4. Trả về chữ số hàng đơn vị tìm được ở bước 3 là kết quả

C++




// Efficient C++ program to97

// Efficient C++ program to98

using 

6
0 
6
1

 

6
4 // find unit digit of x^y.03
6
4 
6
7
6
4 // find unit digit of x^y.07

6
1_______3_______36 // find unit digit of x^y.10

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 // find unit digit of x^y.13

6
1
3
2

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36 // find unit digit of x^y.18

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 
2
6
1

6
1
3
2

6
1
6
4 // find unit digit of x^y.26
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
51_______718_______28

6
1
6
4 // find unit digit of x^y.31

6
1
3
0 // find unit digit of x^y.34

3
2

 

6
4 // find unit digit of x^y.37

6
1// find unit digit of x^y.39// find unit digit of x^y.40

6
1// find unit digit of x^y.42// find unit digit of x^y.43

6
1
3
0 
2
6
1

3
2

// find unit digit of x^y.48

Java




2
6
5 // find unit digit of x^y.50

 

6
06 
2
6
7 // find unit digit of x^y.53

6
1
6
06 // Efficient C++ program to2 
6
4 // find unit digit of x^y.58
6
4 
6
7
6
4 // find unit digit of x^y.07

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36 // find unit digit of x^y.65using0// find unit digit of x^y.67

using2_______10_______0 // find unit digit of x^y.8// find unit digit of x^y.9

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
2

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36 // find unit digit of x^y.76using0// find unit digit of x^y.67

using2_______10_______0 using0// find unit digit of x^y.9

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
2

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4 // find unit digit of x^y.87
6
4_______718_______89using4// find unit digit of x^y.91

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
6
4 // find unit digit of x^y.94using4// find unit digit of x^y.9

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 // find unit digit of x^y.99

6
1
3
2

 

6
1
6
06 // Efficient C++ program to2 
6
08 #include 06

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7#include 08
6
18
6
17// find unit digit of x^y.8
6
19// find unit digit of x^y.40

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7#include 08
6
16
6
17
6
18
6
19// find unit digit of x^y.43

6
1
3
2

3
2

Python3




6
28 #include 25

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36 
3
86
6
36_______2_______36 using0
3
84

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 // find unit digit of x^y.8

6
1
x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
36 
3
71
6
36
6
36 using0
3
84

x   |  power 2  |  power 3  |   power 4  | Cyclicity  
0   | ................................. |  ... repeat with 0
1   | ................................. |  ... repeat with 1
2   |     4     |     8     |      6     | ... repeat with 2
3   |     9     |     7     |      1     | ... repeat with 3
4   |     6     |...................... |  ... repeat with 4
5   | ................................. |  ... repeat with 5
6   | ................................. |  ... repeat with 6
7   |     9     |     3     |      1     | ... repeat with 7
8   |     4     |     2     |      6     | ... repeat with 8
9   |     1     | ..................... |  ... repeat with 9
7
3
0 using0

6
1#include 47
6
36 #include 49
3
12using4
6
40
6
53
6
53
3
86

Chữ số hàng đơn vị của 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 là bao nhiêu?

Trả lời. Chữ số hàng đơn vị của tổng biểu thức đã cho là 9 .

Chữ số hàng đơn vị của 3 2023 là bao nhiêu?

Chữ số hàng đơn vị cho 3^(4n+k) cho n bất kỳ số nguyên nào sẽ là 3 cho k=0, 9 cho k=1, 7 cho k=2 & 1 cho k=3. Power 2023 có thể được viết là 4*500 + 3, tức là n= 500 & k=3. Khi đó chữ số hàng đơn vị của 3^2023 là 1 (vì k=3).

Chữ số hàng đơn vị của 34 52 27 23 36 12 là bao nhiêu?

Vậy chữ số hàng đơn vị là 8 .

Chữ số ở hàng đơn vị của 2017 2017 là bao nhiêu?

vậy chữ số hàng đơn vị là 7 .

programming 2024

Bài Viết Liên Quan

Cờ thi đua xuất sắc bộ văn hóa 2023 năm 2024
Cờ thi đua xuất sắc bộ văn hóa 2023 năm 2024

mẹo hay
Giải vở bài tập toán 5 tập 2 bài 135 năm 2024
Giải vở bài tập toán 5 tập 2 bài 135 năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Baán đất mặt tiền lê văn tách dĩ na năm 2024
Baán đất mặt tiền lê văn tách dĩ na năm 2024

mẹo hay
Các dạng toán với hno3 có đáp số năm 2024
Các dạng toán với hno3 có đáp số năm 2024

mẹo hay
Dđể sữa lỗi gõ tắt ta thực hiện năm 2024
Dđể sữa lỗi gõ tắt ta thực hiện năm 2024

mẹo hay
Cach len do yi di top mua 6 năm 2024
Cach len do yi di top mua 6 năm 2024

mẹo hay Top List Top
Cuộc chiến với mĩ kết thúc vào năm nào năm 2024
Cuộc chiến với mĩ kết thúc vào năm nào năm 2024

mẹo hay
Ban nhà đường lê văn sỹ quận 3 năm 2024
Ban nhà đường lê văn sỹ quận 3 năm 2024

mẹo hay Xây Đựng Nhà
Chất hoạt động bề mặt ký hiệu hóa học năm 2024
Chất hoạt động bề mặt ký hiệu hóa học năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Lỗi data not save của naruto storm 3 năm 2024
Lỗi data not save của naruto storm 3 năm 2024

mẹo hay
Khi nào công bố điểm chuẩn các trường đại học năm 2024
Khi nào công bố điểm chuẩn các trường đại học năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học Đại học
Mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận năm 2024
Mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận năm 2024

mẹo hay
Bài tập nguyên hàm hay và khó có lời giải năm 2024
Bài tập nguyên hàm hay và khó có lời giải năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Bài văn nghị luận về im lặng là vàng năm 2024
Bài văn nghị luận về im lặng là vàng năm 2024

mẹo hay
Bảng tóm tắt hoàn cảnh sáng tác văn 9 năm 2024
Bảng tóm tắt hoàn cảnh sáng tác văn 9 năm 2024

mẹo hay Top List Tóm tắt
Bài văn nghị luận chứng minh có chí thì nên năm 2024
Bài văn nghị luận chứng minh có chí thì nên năm 2024

mẹo hay
Dđề toán học kì 1 lớp 7 thanh hóa năm 2024
Dđề toán học kì 1 lớp 7 thanh hóa năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Bài ôn tập toán lớp 3 học kỳ 2 năm 2024
Bài ôn tập toán lớp 3 học kỳ 2 năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Chung cư kim văn kim lũ phuong dai kim năm 2024
Chung cư kim văn kim lũ phuong dai kim năm 2024

mẹo hay
Bài giảng điện tử hình chữ nhật toán 8 năm 2024
Bài giảng điện tử hình chữ nhật toán 8 năm 2024

mẹo hay

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Các nghị định cổ phần hóa doanh nghiệp nhà nước năm 2024
4 ngày trước . bởi ReducedDeveloper
Phụ nữ thông minh là như thế nào năm 2024
4 ngày trước . bởi WindyDiagnosis
Top tai nghe bluetooth được ưa chuộng nhất năm 2024
4 ngày trước . bởi ArchedTransmission
Khi nào dùng either or và neither nor năm 2024
4 ngày trước . bởi PerceptualCalamity
Cách khắc phục lỗi re-built trong win 10 năm 2024
5 ngày trước . bởi UnresolvedComer
Trung bình được dùng khi mỗi phần tử năm 2024
5 ngày trước . bởi AmateurQuorum
Khắc phục lỗi cáp usb ppi s7 200 năm 2024
5 ngày trước . bởi UnharmedBurglary
200 câu hỏi lý thuyết thực tập hóa năm 2024
5 ngày trước . bởi Million-dollarAmbulance
Câu hỏi đọc hiểu văn tế nghĩa sĩ cần giuộc năm 2024
5 ngày trước . bởi Self-helpProspectus
Khối c14 gồm những ngành nào trường nào năm 2024
5 ngày trước . bởi UnifyingCarrier

Toplist được quan tâm

#1
Top 9 người ta điều chế pvc theo chuyển hóa sau 2023
7 tháng trước
#2
Top 6 mẫu số 01 -- tt phiếu thu thông tư 200 2023
7 tháng trước
#3
Top 9 cây đại phú gia ra hoa bảo hiệu điều gì 2023
7 tháng trước
#4
Top 6 an ninh trật tự, an toàn xã hội la gì 2023
7 tháng trước
#5
Top 8 trong chiến dịch biên giới thu - đông 1950 trận đánh nào ác liệt và có ý nghĩa nhất 2023
7 tháng trước
#6
Top 9 nghĩa quân tây sơn đánh tan quân thanh trong trận đánh nào 2023
7 tháng trước
#7
Top 8 khoa học lớp 5 tập 2 phiếu kiểm tra 4 2023
7 tháng trước
#8
Top 8 lớp lõi trái đất có trạng thái 2023
7 tháng trước
#9
Top 8 vở bài tập toán lớp 4 tập 1 bài 78: chia cho số có ba chữ số trang 89 2023
7 tháng trước

Quảng cáo

Xem Nhiều

Top tai nghe bluetooth được ưa chuộng nhất năm 2024
4 ngày trước . bởi ArchedTransmission
Tiền chậm nộp thuế hạch toán vào tài khoản nào năm 2024
1 tuần trước . bởi DiscontentedThreshold
Giải bt toán 10 hình học trang 27 bài 78 năm 2024
3 ngày trước . bởi HelmetedForgiveness
Cach len do yi di top mua 6 năm 2024
8 giờ trước . bởi FlailingColleague
Baán đất mặt tiền lê văn tách dĩ na năm 2024
5 giờ trước . bởi Three-yearAbsence
Cuộc thi viết luận văn nghiên cứu nhật bản năm 2024
5 ngày trước . bởi FlabbergastedTreadmill
Làm bài văn thuyết minh về con trâu năm 2024
3 ngày trước . bởi Run-downPiles
Nộp đơn khiếu nại cho công an tỉnh thanh hóa năm 2024
4 ngày trước . bởi MoonlitTherapy
Khi nào can dùng thuốc kháng virus viêm gan b năm 2024
1 ngày trước . bởi UnsatisfactoryError
Máy in mfc-7840n lỗi cover in open năm 2024
1 tuần trước . bởi CircularAbsurdity

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội

DMCA.com Protection Status
Bản quyền © 2021 hoidapxoay Inc.