Có bao nhiêu cặp số nguyên xy thỏa mãn 0 y 2021
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với\(x \le 2020\)thỏa mãn \({\log _2}\left( {x 1} \right) + 2x 2y = 1 + {4^y}\).
Lời giải tham khảo: Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới. Theo đề bài\({\log _2}\left( {x 1} \right) + 2x 2y = 1 + {4^y} \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {x 1} \right) + 2\left( {x 1} \right) = 2y + {2^{2y}}\) Đặt \(t = {\log _2}2\left( {x 1} \right) \Rightarrow 2\left( {x 1} \right) = {2^t}\). Ta có \({2^t} + t = {2^{2y}} + 2y\,\,\,\,\left( 1 \right)\). Xét hàm số\(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên R \(f\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall t \in R \Rightarrow f\left( t \right)\)đồng biến trên . \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( {2y} \right) \Leftrightarrow t = 2y \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {x 1} \right) = 2y\). \(\Leftrightarrow 2\left( {x 1} \right) = {2^{2y}}\) \(\Leftrightarrow x = {2^{2y 1}} + 1\) Mà \(x \le 2020 \Rightarrow {2^{2y 1}} + 1 \le 2020 \Leftrightarrow y \le \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_2}2019} \right)\). Vì \(y \in {Z^ + } \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Vậy có 5 cặp điểm cặp số nguyên dương (x;y).
===***=== |