Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng 2 số nguyên b thỏa mãn

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng ba số nguyên $b$ thỏa mãn $\left( {{3}^{b}}-3 \right)\left( a{{.2}^{b}}-18 \right)<0$ ?
A. ${72.}$
B. ${73\cdot }$
C. ${71\cdot }$
D. ${74\cdot }$

Lời giải

Xét $\left( {{3}^{b}}-3 \right)\left( a{{.2}^{b}}-18 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{3}^{b}}-3=0 \\
& a{{.2}^{b}}-18=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=1 \\
& b={{\log }_{2}}\dfrac{18}{a} \\
\end{aligned} \right.$.
TH1: Nếu ${{\log }_{2}}\dfrac{18}{a}>1\Leftrightarrow 0

$4<{{\log }_{2}}\dfrac{18}{a}\le 5\Leftrightarrow 16<\dfrac{18}{a}\le 32\Leftrightarrow \dfrac{9}{16}\le a<\dfrac{9}{8}$.​

$-3\le {{\log }_{2}}\dfrac{18}{a}<-2\Leftrightarrow {{2}^{-3}}\le \dfrac{18}{a}<{{2}^{-2}}\Leftrightarrow 72

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {\log _5^{}b – 1} \right)\left( {a{{\log }_2}b – 6} \right) < 0\)?

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(5\).

D. \(7\).

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có 2 trường hợp sau

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b – 1 < 0\\a{\log _2}b – 6 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b < 1\\{\log _2}b > \frac{6}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 5\\b > {2^{\frac{6}{a}}}\end{array} \right.\)

adsense

Để có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn thì điều kiện là \(2 \le {2^{\frac{6}{a}}} < 3 \Leftrightarrow 1 \le \frac{6}{a} < {\log _2}3 \Leftrightarrow 3,8 \simeq \frac{6}{{{{\log }_2}3}} < a \le 6\)

Suy ra trong trường hợp này ta chọn được \(a \in \left\{ {4;5;6} \right\}\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b – 1 > 0\\a{\log _2}b – 6 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b > 1\\{\log _2}b < \frac{6}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b > 5\\b < {2^{\frac{6}{a}}}\end{array} \right.\)

Để có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn thì điều kiện là \(7 < {2^{\frac{6}{a}}} \le 8 \Leftrightarrow {\log _2}7 < \frac{6}{a} \le {\log _2}8 \Leftrightarrow 2 \le a < \frac{6}{{{{\log }_2}7}} \simeq 2,1\)

Suy ra trong trường hợp này ta chọn được \(a \in \left\{ 2 \right\}\).

Vậy \(a \in \left\{ {2;4;5;6} \right\}\) thì ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là: B

(5b - 1)(a.2b - 5) = 0 ⇔5b−1=0   a.2b−5=0⇔b=0      b=log25a

+) TH1:log25a<0a>0       ⇔a>5

Vì hàm số y = ax (a > 1) là hàm đồng biến nên

(5b - 1)(a.2b - 5) < 0

Yêu cầu của bài toán suy ra

−3≤log25a<−2⇔18≤5a<14

⇔a≤40a>20

Mà a Î ℕ* Þ a Î {21; 22; ...; 40}

+) TH2:log25a>0a>0       ⇔0

Vì hàm số y = ax (a > 1) là hàm đồng biến nên

(5b - 1)(a.2b - 5) < 0 ⇔0

Yêu cầu của bài toán suy ra

2≤log25a<3⇔4≤5a<8

⇔a≤54a>58

Mà a Î ℕ* Þ a = 1

Vậy có 21 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

• Câu hỏi:

  Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thảo mãn \(({4^b} - 1)(a{.3^{b\;\;}} - 10) < 0\)?

  • A.

    182

  • B. 179
  • C. 180
  • D. 181

  Lời giải tham khảo:

  Đáp án đúng: D

  Theo để bài \(a \in Z;a \ge 1\) và b \(\in\) Z.

  Trường hợp 1:

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  {4^b} - 1 < 0\\
  a{3^b} - 10 > 0
  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
  b < 0\\
  b > {\log _3}\frac{{10}}{a}
  \end{array} \right.\) 

  Vì có đúng hai số nguyên b thỏa mãn nên b \(\in\) {-2;-1}.

  Do đó \( - 2 > {\log _3}\frac{{10}}{a} \ge  - 3 \Leftrightarrow 270 \ge a > 90\) nên a \(\in\) {91;92;..;270}. Có 180 giá trị a thỏa mãn trường hợp 1.

  Trường hợp 2:

  \(\left\{ \begin{array}{l}
  {4^b} - 1 > 0\\
  a{3^b} - 10 < 0
  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
  b > 0\\
  b < {\log _3}\frac{{10}}{a}
  \end{array} \right.\)

  Vì có đúng hai số nguyên b thỏa mãn nên b \(\in\) {1;2} .

  Do đồ \(3 \ge {\log _3}\frac{{10}}{a} > 2 \Leftrightarrow \frac{{10}}{9} > a \ge \frac{{10}}{{27}}\) nên a = 1. Có 1 giá trị của a thoả mãn trường hợp 2.