Công thức tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
|
Xem nhiều tuần qua:
Show
Các dạng bài tập tìm Max và Min của hàm số lượng giác. Bài viết tổng hợp các dạng bài tập về GTLN và GTNN của hàm số lượng giác từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo ví dụ cụ thể để các em học sinh dễ dàng ôn tập.
1. Tìm Max và Min của hàm số lượng giác đơn giảnPhương pháp: Biến đổi hàm số về một hàm lượng giác duy nhất và sử dụng các kết quả có sẵn sau: $$\eqalign{ Từ đó biến đổi thêm để được hàm số mong muốn. Một số biến đổi cơ bản đưa hàm số về 1 hàm lượng giác duy nhất$$\sin x + \cos x = \cos \left( {{\pi \over 2} – x} \right) + \cos x = 2\cos \left( {{\pi \over 4}} \right).\cos \left( {{\pi \over 4} – x} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {{\pi \over 4} – x} \right)$$ $$a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right)$$ $$ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\cos \alpha .\sin x + \sin \alpha \cos x} \right)$$
$$ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)$$ Ví dụ:Tìm GTLN, GTNN của hàm số $$y = \sqrt 3 \cos x – \sin x$$ Giải: $$a = \sqrt 3 ;b = 1 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2$$ $$y = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}\cos x – {1 \over 2}\sin x} \right) = 2\left( {\sin {\pi \over 3}\cos x – \cos {\pi \over 3}\sin x} \right)$$$$ = 2\sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right)$$ Ta có $$ – 1 \le \sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) \le 1$$ $$ \Rightarrow – 2 \le 2\sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) \le 2 \Rightarrow – 2 \le y \le 2$$ $$y = – 2 \Leftrightarrow \sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) = – 1 \Leftrightarrow {\pi \over 3} – x = – {\pi \over 2} + k2\pi \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi $$ $$y = 2 \Leftrightarrow \sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) = 1 \Leftrightarrow {\pi \over 3} – x = {\pi \over 2} + k2\pi \Leftrightarrow x = {{ – \pi } \over 6} + k2\pi $$ Ngoài ra ta còn sử dụng các công thức lượng giác để đưa về 1 hàm số lượng giác: Nhân đôi; hạ bậc; tích thành tổng; tổng thành tích; công thức cộng… 2. Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để tìm Max và Min của hàm lượng giácKhi hàm số lượng giác khá phức tạp, không thể sử dụng các kết quả có sẵn trên, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Từ đó ta được một hàm đa thức và sử dụng bảng biến thiên để tìm GTLN và GTNN Ví dụ:Tìm GTLN và GTNN của hàm số $$y = {\sin ^2}x + 2\cos 2x + \cos x – 1$$ Giải:Biến đổi hàm số : $$y = 1 – {\cos ^2}x + 2\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) + \cos x – 2 = 3{\cos ^2}x + \cos x – 2$$ Đặt $$t = \cos x$$ với $${ – 1 \le t \le 1}$$ Ta được hàm số $$y = 3{t^2} + t – 2{\rm{ }}\left( { – 1 \le t \le 1} \right)$$ Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1; 1]  Từ bảng biến thiên ta được $$Miny = {{ – 25} \over {12}}$$ ; dấu bằng xảy ra khi $$t = {{ – 1} \over 6} \Rightarrow \cos x = {{ – 1} \over 6}$$ $$Maxy = 2$$ ; dấu bằng xảy ra khi $$t = 1 \Rightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in } \right)$$. 3. Tìm Max, Min của hàm lượng giác trên [a;b] cho trướcPhương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Xem thêm Phiếu bài tập trắc nghiệm GTLN GTNN của hàm lượng giác (word) có đáp án Bài viết cùng series:<< Trắc nghiệm phương trình đối xứng với sin và cos có đáp ánTổng hợp các công thức tính đạo hàm đầy đủ nhất >>Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
Bài viết khác
08:48:4809/12/2020 Một số dạng bài tập tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn đã được HayHocHoi giới thiệu ở bài viết trước. Nếu chưa xem qua bài này, các em có thể xem lại nội dung bài viết tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Trong nội dung bài này, chúng ta tập trung vào một số bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, vì hàm số lượng giác có tập nghiệm phức tạp và dễ gây nhầm lẫn cho rất nhiều em. I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - kiến thức cần nhớ • Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R. - Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x ∈ X thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên X. Ký hiệu: - Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x ∈ X thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên X. Ký hiệu: II. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác * Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác + Để tìm Max (M), min (m) của hàm số y = f(x) trên [a;b] ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Tính f'(x), tìm nghiệm f'(x) = 0 trên [a;b]. - Bước 2: Tính các giá trị f(a); f(x1); f(x2);...; f(b) (xi là nghiệm của f'(x) = 0) - Bước 3: So sánh rồi chọn M và m. > Lưu ý: Để tìm M và m trên (a;b) thì thực hiện tương tự như trên nhưng thay f(a) bằng • Nếu f tăng trên [a;b] thì M = f(b), m = f(a). • Nếu f giảm trên [a;b] thì m = f(b), M = f(a). • Nếu trên D hàm số liên tục và chỉ có 1 cực trị thì giá trị cực trị đó là GTLN nếu là cực đại, là GTNN nếu là cực tiểu. * Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm lượng giác sau: y = sinx.sin2x trên [0;π] * Lời giải: - Ta có f(x) = y = sinx.sin2x
Vậy * Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y = sinx + cosx trong đoạn [0;2π]. * Lời giải: - Ta có: f(x) = y = sinx + cosx ⇒ f'(x) = cosx - sinx f'(x) = 0 ⇔ cosx = sinx ⇔ x = π/4 hoặc x = 5π/4 - Như vậy, ta có: f(0) = 1; f(2π) = 1;
Vậy • Cách khác: f(x) = sinx + cosx = √2.sin(x + π/4) Vì -1 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1 nên -√2 ≤ √2.sin(x + π/4) ≤ √2. Nên * Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 3sinx+ 4cosx + 1 * Lời giải: - Với bài này ta có thể áp dụng bất đẳng thức sau: (ac + bd)2 ≤ (c2 + d2)(a2 + b2) dấu "=" xảy ra khi a/c = b/d - Vậy ta có: (3sinx+ 4cosx)2 ≤ (32 + 42)(sin2x + cos2x) = 25 Suy ra: -5 ≤ 3sinx+ 4cosx ≤ 5 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6 Vậy Maxy = 6 đạt được khi tanx = 3/4 miny = -4 đạt được khi tanx = -3/4. > Nhận xét: Cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau: Tức là: * Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3cosx + sinx - 2 * Lời giải: - Bài này làm tương tự bài 3 ta được: * Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3cosx + 2 * Lời giải: - Ta có: -1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ R. Maxy = 3.1 + 1 = 4 khi cosx = 1 ⇔x = k2π Minxy = 3.(-1) + 1 = -2 khi cosx = -1 ⇔x = π + k2π * Bài tập 6: Tìm m để phương trình: m(1 + cosx)2 = 2sin2x + 2 có nghiệm trên [-π/2;π/2]. * Lời giải: - Phương trình trên tương đương: Đặt khi đó: (*) ⇔ t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m. Xét f(t) = t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 trên đoạn [-1;1] Ta có: f'(t) = 4t3 - 12t2 + 4t + 4 = 0 ⇔ t = 1; t = 1 - √2; t = 1 + √2(loại) Có: f(-1) = 1 + 4 + 2 - 4 + 1 = 4 f(1) = 1 - 4 + 2 + 4 + 1 = 4 f(1 - √2) = (1 - √2)4 - 4(1 - √2)3 + 2(1 - √2)2 + 4(1 - √2) + 1 = 0 Ta được: Minf(t) = 0; Maxf(t) = 4 Để phương trình có nghiệm ta phải có 0 ≤ 2m ≤ 4. Vậy 0 ≤ m ≤ 2 thì phương trình có nghiệm. III. Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác tự làm * Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: * Đáp số bài tập 1:
* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2cos2x - 3cosx - 4 trên [-π/2;π/2]. * Đáp số bài tập 2:
* Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = x + 2cosx trên (0;π/2). * Đáp số bài tập 3:
* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2sin2x + 2sinx - 4. * Đáp số bài tập 4:
* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = x + sin2x trên [-π/2;π/2]. * Đáp số bài tập 5:
Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác ngoài cách dùng đạo hàm các em cũng cần vận dụng một cách linh hoạt các tính chất đặc biệt của hàm lượng giác hay bất đẳng thức. Hy vọng, bài viết này hữu ích cho các em, chúc các em học tập tốt. |
