Đề bài
Cho hai đường tròn [O] và [O] tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi M là giao điểm của một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC \[\left[ {B \in \left[ O \right],C \in \left[ {O'} \right]} \right]\] và tiếp tuyến chung trong A. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO tại M.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh \[IM \bot BC\], với \[I\] là trung điểm của \[OO'\].
+] Chứng minh \[M\] thuộc đường tròn đường kính \[OO'\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\] là trung điểm của \[OO' \Rightarrow I\] là tâm đường tròn đường kính \[OO'\].
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Rightarrow MB = MC \Rightarrow M\] là trung điểm của \[BC\].
Vì \[BC\] là tiếp tuyến chung ngoài của \[\left[ O \right]\] và \[\left[ {O'} \right]\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}OB \bot BC\\O'C \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OB//O'C \Rightarrow \] Tứ giác \[OBCO'\] là hình thang.
Xét hình thang \[OBCO'\] có:
\[I\] là trung điểm của \[OO'\] [cách dựng]
\[M\] là trung điểm của \[BC\,\,\left[ {cmt} \right]\]
\[ \Rightarrow IM\] là đường trung bình của hình thang \[OBCO' \Rightarrow IM//OB//O'C\].
Mà \[OB \bot BC \Rightarrow IM \bot BC\] tại \[M\] [1].
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[MO\] là tia phân giác của \[\angle AMB\];
\[MO'\] là tia phân giác của \[\angle AMC\].
Mà \[\angle AMB\] và \[\angle AMC\] là 2 góc kề bù \[ \Rightarrow MO \bot MO' \Rightarrow \angle OMO' = {90^0} \Rightarrow M\] thuộc đường tròn đường kính \[OO'\] [2].
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow BC\] là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \[OO'\].