Đề bài
Một hình nón tròn xoay có đỉnh là \[D\], tâm của đường tròn đáy là \[O\], đường sinh bằng \[l\]và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \[\alpha \].
a] Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.
b] Gọi \[I\] là một điểm trên đường cao \[DO\] của hình nón sao cho \[\dfrac{{DI}}{{DO}} = k[0 < k < l]\]. Tính diện tích thiết diện qua \[I\] và vuông góc với trục của hình nón.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng các công thức: \[{S_{xq}} = \pi rl\] và \[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\].
b] Xác định tâm và bán kính của thiết diện [hình tròn], tính diện tích theo công thức \[S = \pi {R^2}\].
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[r \] là bán kính của đường tròn đáy.
Ta có \[OA{\rm{ }} = {\rm{ }}r{\rm{ }} = l.\cos \alpha \] [với \[O\] là tâm của đường tròn đáy và \[A\] là một điểm trên đường tròn đó].
Ta suy ra: \[{S_{xq}} = \pi rl = \pi {l^2}\cos \alpha \]
Khối nón có chiều cao \[h = DO = l\sin \alpha \]. Do đó thể tích \[V\] của khối nón được tính theo công thức \[V = \dfrac{1}{3}Bh = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}.h\]
Vậy : \[V = \dfrac{1}{3}\pi {l^2}{\cos ^2}\alpha .l\sin \alpha = \dfrac{1}{3}\pi {l^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \]
b] Thiết diện qua \[I\] và vuông góc với trục hình nón là một hình tròn bán kính \[r\] với \[\dfrac{{r'}}{r} = \dfrac{{DI}}{{DO}} = k\]\[ \Rightarrow r' = kr = k.l\cos \alpha \].
Vậy diện tích của thiết diện đi qua điểm \[I\] và vuông góc với trục hình nón là: \[S = \pi r{'^2} = \pi {k^2}{l^2}{\cos ^2}\alpha \]