Đề bài
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
\[\left| {{z \over {z - i}}} \right| = k\]
[k là số thực dương cho trước]
Lời giải chi tiết
Viết \[z = x + yi\left[ {x,y \in R} \right]\] thì
\[\left| {{z \over {z - i}}} \right| = \left| {{{x + yi} \over {x + \left[ {y - 1} \right]i}}} \right| = k \Leftrightarrow {{{x^2} + {y^2}} \over {{x^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}} = {k^2}\]
- Nếu \[k = 1\] thì đẳng thức cuối này tương đương với \[y = {1 \over 2}.\]. Tập hợp cần tìm là đường thẳng \[y = {1 \over 2}\] [đường trung trực của đoạn thẳng OI, I biểu diễn số i]
- Nếu \[k \ne 1\] thì đẳng thức cuối đó tương đương với
\[{x^2} + {y^2} - 2{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}y + {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}} = 0\]
Tức là tương đương với
\[{x^2} + {\left[ {y - {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right]^2} = {{{k^2}} \over {{{\left[ {{k^2} - 1} \right]}^2}}}\]
Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số \[{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}i,\] có bán kính bằng \[\left| {{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right|\]