Đề bài
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
\[f\left[ x \right] = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\,\text{ với }\,x < 2} \cr {mx + m + 1\,\text{ với }\,x \ge 2} \cr} } \right.\]
Liên tục tại điểm \[x = 2\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
f liên tục tại \[x = 2\]
\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left[ x \right] = f\left[ 2 \right] \]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {mx + m + 1} \right] \cr &= 3m + 1 = f\left[ 2 \right] \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]} \over {x\left[ {x - 2} \right]}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 1} \over x} = {1 \over 2} \cr} \]
f liên tục tại mọi \[x 2\]. Do đó :
f liên tục trên \[\mathbb R \] f liên tục tại \[x = 2\]
\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left[ x \right] = f\left[ 2 \right] \]
\[\Leftrightarrow 3m + 1 = {1 \over 2} \Leftrightarrow m = - {1 \over 6}\]