- LG a
- LG b
- LG c
Cho dãy số [un] với \[{u_n} = {n \over {{3^n}}}\]
LG a
Chứng minh rằng \[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\] với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left[ {1 + {1 \over n}} \right] \cr
& \le {1 \over 3}[1+1]={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \]
[Vì \[\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1\]]
LG b
Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \[0 < {u_n} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n}\] với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Rõ ràng \[u_n> 0, n 1\].
Ta chứng minh \[{u_n} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n}\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
+] Với \[n = 1\] ta có \[{u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\]
Vậy [1] đúng với \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có:
\[{u_k} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^k}\]
Khi đó \[\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\] [theo câu a]
\[ \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left[ {{2 \over 3}} \right]^k} = {\left[ {{2 \over 3}} \right]^{k + 1}}\]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] nên [1] đúng với mọi \[n\].
LG c
Phương pháp giải:
Sử dụng các định lý:
+] Cho hai dãy số \[\left[ {{u_n}} \right],\left[ {{v_n}} \right]\].
Nếu \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\] với mọi n và \[\lim {v_n} = 0\] thì \[\lim {u_n} = 0\].
+] Nếu \[\left| q \right| < 1\] thì \[\lim {q^n} = 0\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[0 < {u_n} \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n}\]
Mà \[\lim {\left[ {{2 \over 3}} \right]^n} = 0\] \[ \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\]