- LG a
- LG b
- LG c
Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
LG a
Dãy số [un] với \[{u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\]
Phương pháp giải:
Xét hiệu un+1 unvà so sánh với 0.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {\left[ {n + 1} \right]^3} - 3{\left[ {n + 1} \right]^2} + 5\left[ {n + 1} \right] - 7\cr& - \left[ {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right] \cr
&= {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 \cr&- 3\left[ {{n^2} + 2n + 1} \right] + 5n + 5 - 7\cr& - {n^3} + 3{n^2} - 5n + 7\cr&= 3{n^2} - 3n + 3 \cr&= 3n\left[ {n - 1} \right] + 3> 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right]\] là dãy số tăng.
LG b
Dãy số [xn] với \[{x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\]
Phương pháp giải:
Xét tỉ số \[{{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\] và so sánh với 1.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} \cr&= {{3\left[ {n + 1} \right]} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n \in \mathbb N^*\cr&\text{vì }\,3n + 3 > n + 2\;\forall n \in \mathbb N^*\cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \]
\[ [x_n]\]là dãy số giảm.
LG c
Dãy số [an] với \[{a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \]
Phương pháp giải:
Viết lại công thức xác định andưới dạng
\[{a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\] [sử dụng nhân chia liên hợp]
Tiếp theo, xét tỉ số \[{{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\] và so sánh với 1.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \cr&= \frac{{\left[ {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right]\left[ {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right]}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr&= \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\cr&= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} \cr&=\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}:\frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\cr&= {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \]
\[[a_n]\] là dãy số giảm.