Đề bài
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là :\[ - 2;0;2;4;6;....\]Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng ?
A. \[{u_n} = - 2n\]
B. \[{u_n} = [ - 2][n + 1]\]
C. \[{u_n} = [ - 2] + n\]
D. \[{u_n} = [ - 2] + 2[n - 1]\]
Câu 2: Cho cấp số nhân \[[{u_n}]\]có công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. \[{u_k} = \sqrt {{u_{k + 1}}.{u_{k + 2}}} \]
B. \[{u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\]
C. \[{u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\]
D. \[{u_k} = {u_1} + [k - 1]q\]
Câu 3: Cho cấp số cộng \[[{u_n}]\]có \[{u_2} + {u_3} = 20,{u_5} + {u_7} = - 29\]. Tìm \[{u_1},d\]?
A. \[{u_1} = 20;d = 7\]
B. \[{u_1} = 20,5\,;d = - 7\]
C. \[{u_1} = 20,5\,;d = 7\]
D.\[{u_1} = - 20,5;d = - 7\]
Câu 4: Cho dãy số \[[{u_n}]\] xác định bởi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3,\forall n \ge 2}\end{array}} \right.\]. Viết năm số hạng đầu của dãy ?
A. 1;5;13;28;61
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
Câu 5: Xét xem dãy số \[[{u_n}]\]với \[{u_n} = 3n - 1\] có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội.
A. \[q = 3\] B. \[q = 2\]
C. \[q = 4\] D. \[q = \emptyset \]
Câu 6: Cho dãy số\[\left[ {{y_n}} \right]\] xác định bởi \[{y_1} = {y_2} = 1\] và \[{y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + {y_n},\,\,\forall n \in N*.\] Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
A.\[1,1,2,4,7\] B.\[2,3,5,8,11\]
C.\[1,2,3,5,8\] D.\[1,1,2,3,5\]
Câu 7: Cho cấp số cộng \[[{u_n}]\] thỏa mãn :\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\]. Xác định công sai ?
A. d = 3 B. d = 5
C. d = 6 D. d = 4
Câu 8: Cho dãy số \[[{u_n}]\]có \[{u_1} = \dfrac{1}{4};d = \dfrac{{ - 1}}{4}\]. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \[{S_5} = \dfrac{5}{4}\]
B. \[{S_5} = \dfrac{4}{5}\]
C. \[{S_5} = - \dfrac{5}{4}\]
D. \[{S_5} = - \dfrac{4}{5}\]
Câu 9: Cho dãy số \[[{u_n}]\]với :\[{u_n} = 7 - 2n\]. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. 3 số hạng đầu của dãy : \[{u_1} = 5;{u_2} = 3;{u_3} = 1\]
B. Số hạng thứ \[n + 1:{u_{n + 1}} = 8 - 2n\]
C. Là cấp số cộng có d = - 2
D. Số hạng thứ 4: \[{u_4} = - 1\]
Câu 10: Cho dãy số \[ - 1;x;0,64\]. Chọn \[x\] để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân
A. Không có giá trị nào của \[x\]
B. \[x = 0,008\]
C. \[x = - 0,008\]
D. \[x = 0,004\]
Câu 11: Xét tính tăng , giảm và bị chặn của dãy số \[[{u_n}]\] biết \[{u_n} = \dfrac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\]
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng, không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 12: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng ?
A. \[{a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc\]
B. \[{a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc\]
C. \[{a^2} + {c^2} = 2ab - 2bc\]
D. \[{a^2} - {c^2} = ab - bc\]
Câu 13: Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \[\left[ {{a_n}} \right]\] có \[{a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N*\] .
A. 14 B. 15
C. 13 D. 12
Câu 14: Cho dãy số \[[{u_n}]\]với :\[{u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}\] . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Năm số hạng đầu của dãy là : \[\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 2}}{3};\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{{ - 5}}{5};\dfrac{{ - 5}}{6};\]
B. Năm số hạng đầu của dãy là: \[\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 2}}{3};\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{{ - 4}}{5};\dfrac{{ - 5}}{6};\]
C. Là dãy số tăng
D. Bị chặn trên bởi số 1
Câu 15: Cho dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\] xác định bởi \[{x_1} = 5\] và \[{x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N*\]. Số hạng tổng quát của dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\] là:
A.\[{x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\]
B.\[{x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}\]
C.\[{x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}\]
D.\[{x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}\]
Câu 16: Cho cấp số nhân \[[{u_n}]\]thỏa mãn: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\]. Viết 5 số hạng đầu của cấp số
A. \[{u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{5};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}\] C. \[{u_1} = 1;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}\]
B. \[{u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{64}}\] D. \[{u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}\]
Câu 17: Xét tính bị chặn của dãy số sau: \[{u_n} = 4 - 3n - {n^2}\]
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 18: Xác định x để 3 số :\[1 - x;{x^2};1 + x\] theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
A. Không có giá trị nào của x
B. \[x = \pm 2\]
C. \[x = \pm 1\]
D. \[x = 0\]
Câu 19: Cho cấp số nhân có \[{u_1} = - 3;q = \dfrac{2}{3}\]. Tính \[{u_5}\]
A. \[{u_5} = \dfrac{{ - 27}}{{16}}\]
B. \[{u_5} = \dfrac{{ - 16}}{{27}}\]
C. \[{u_5} = \dfrac{{16}}{{27}}\]
D. \[{u_5} = \dfrac{{27}}{{16}}\]
Câu 20: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 260. Khi đó, giá trị của \[{u_{13}}\]là bao nhiêu.
A. \[{u_{13}} = 40\]
B. \[{u_{13}} = 38\]
C. \[{u_{13}} = 36\]
D. \[{u_{13}} = 20\]
Câu 21: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai ?
A. \[{u_1} + {u_{20}} = {u_2} + {u_{19}}\]
B. \[{u_1} + {u_{20}} = {u_5} + {u_{16}}\]
C. \[{u_1} + {u_{20}} = {u_8} + {u_{13}}\]
D. \[{u_1} + {u_{20}} = {u_9} + {u_{11}}\]
Câu 22: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81;Khi đó \[{u_n}\]có thể được tính theo biểu thức nào sau đây
A. \[{u_n} = {3^{n - 1}}\]
B. \[{u_n} = {3^n}\]
C. \[{u_n} = {3^{n + 1}}\]
D. \[{u_n} = 3 + {3^n}\]
Câu 23: Dân số của thành phố A hiện nay là \[3\] triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là \[2\% \]. Dân số của thành phố A sau \[3\] năm nữa sẽ là:
A. 3183624
B. 2343625
C. 2343626
D. 2343627
Câu 24: Cho cấp số cộng \[[{u_n}]\] có công sai \[d > 0\]; \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11}\\{{u^2}_{31} + {u^2}_{34} = 101}\end{array}} \right.\]. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
A. \[{u_n} = 3n - 9\]
B. \[{u_n} = 3n - 2\]
C. \[{u_n} = 3n - 92\]
D. \[{u_n} = 3n - 66\]
Câu 25: Với \[n \in {N^*}\], ta xét các mệnh đề: P: \[{7^n} + 5\] chia hết cho \[2\]; Q: \[{7^n} + 5\] chia hết cho 3 và R: \[{7^n} + 5\] chia hết cho \[6\]. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. \[3\] B. \[0\]
C. \[1\] D. \[2\]
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| D | C | B | B | D |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | A | C | B | A |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| A | B | B | B | A |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | C | C | B | B |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| D | B | A | C | A |
Lời giải chi tiết
Câu 1. Ta có dãy số trên là cấp số cộng với công với số hạng đầu u1= -2 và công sai d = 2.
Vậy số hạng tổng quát của dãy là:
\[{u_n} = {u_1} + [n - 1]d = [ - 2] + 2[n - 1]\]
Chọn D.
Câu 3. Áp dụng công thức số hạng tổng quát \[{u_n} = {u_1} + [n - 1]d\]
\[\begin{array}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_3} = 20\\{u_5} + {u_7} = - 29\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d + {u_1} + 2d = 20\\{u_1} + 4d + {u_1} + 6d = - 29\end{array} \right.\\ = \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 3d = 20\\2{u_1} + 10d = - 29\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 20,5\\d = - 7\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn B.
Câu 4. Ta có
\[{u_2} = 2.1 + 3 = 5;\]
\[{u_3} = 2.5 + 3 = 13;\]
\[{u_4} = 2.13 + 3 = 29;\]
\[{u_2} = 2.29 + 3 = 61;\]
Chọn B.
Câu 5. Ta có
\[\left. \begin{array}{l}{u_1} = 3.1 - 1 = 2\\{u_2} = 3.2 - 1 = 5\\{u_3} = 3.3 - 1 = 8\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{5}{2} \ne \dfrac{8}{2}\]
Vậy \[[{u_n}]\] không phải là cấp số nhân nên không tồn tại q.
Chọn D.
Câu 6:
\[\begin{array}{l}{y_1} = {y_2} = 1\\{y_3} = {y_2} + {y_1} = 1 + 1 = 2\\{y_4} = {y_3} + {y_2} = 2 + 1 = 3\\{y_5} = {y_4} + {y_3} = 3 + 2 = 5\end{array}\]
Chọn D
Câu 7.Ta có
\[\begin{array}{c}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn A.
Câu 8. Ta có
\[{S_5} = n{u_1} + \dfrac{{n[n - 1]}}{2}d = 5.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{5.4}}{2}.\left[ { - \dfrac{1}{4}} \right] = - \dfrac{5}{4}\]
Chọn C.
Câu 10. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1.q\\0,64 = x.q\end{array} \right. \Rightarrow 0,64 = - {x^2}\][vô lí]
Chọn A.
Câu 11. \[\forall n \in {N^*},{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{2[n + 1] - 3}}{{3[n + 1] - 2}} - \dfrac{{2n - 3}}{{3n - 2}} \]\[\,= \dfrac{{35}}{{[3n + 1][3n - 2]}} > 0.\]
Và \[{u_n} = \dfrac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{35}}{{3[3n - 2]}} \le \dfrac{2}{3}\]
Chọn A.
Câu 12. Ta có
\[\begin{array}{l}b = \dfrac{{a + c}}{2}\\ \Leftrightarrow c = 2b - a \\\Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 4ab - 4{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 4ab - 2b[a + c]\\ \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc\end{array}\]
Chọn B.
Câu 13.
\[{a_n} = - {n^2} + 4n + 11\]\[\, = - {n^2} + 4n - 4 + 15 = - {\left[ {n - 2} \right]^2} + 15 \le 15\]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\]
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.
Chọn B.
Câu 14. Ta có
\[{u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\];
\[{u_2} = \dfrac{{ - 2}}{{2 + 1}} = \dfrac{{ - 2}}{3}\];
\[{u_3} = \dfrac{{ - 3}}{{3 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{4}\];
\[{u_4} = \dfrac{{ - 4}}{{4 + 1}} = \dfrac{{ - 4}}{5}\];
\[{u_5} = \dfrac{{ - 5}}{{5 + 1}} = \dfrac{{ - 5}}{6}\].
Chọn B.
Câu 15.
\[\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}\]
Dự đoán \[{x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 \]\[\,= 5 + \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}\,\,\,\left[ * \right]\,\,\forall n \in N*\]
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
[*] đúng với n = 1.
Giả sử [*] đúng đến n = k, tức là \[{x_k} = 5 + \dfrac{{k\left[ {k - 1} \right]}}{2}\,,\] ta chứng minh [*] đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \[{x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]k}}{2}\].
Ta có: \[{x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left[ {k - 1} \right]}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left[ {k - 1} \right] + 2k}}{2} \]\[\,= 5 + \dfrac{{k\left[ {k - 1 + 2} \right]}}{2} = 5 + \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]k}}{2}\].
Vậy [*] đúng với mọi \[n \in N*\].
Vậy \[{x_n} = 5 + \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\,\,\,\,\,\forall n \in N*\]
Chọn A.
Câu 16. Ta có
\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} = \dfrac{2}{{27}}\\{u_1}.{q^2} = 243{u_1}.{q^7}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{{27.{q^3}}}\\\dfrac{1}{{{q^5}}} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = 2.{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^{n - 1}}\end{array}\]
\[{u_2} = \dfrac{2}{{{3^1}}} = \dfrac{2}{3}\];
\[{u_3} = \dfrac{2}{{{3^2}}} = \dfrac{2}{9}\];
\[{u_4} = \dfrac{2}{{{3^3}}} = \dfrac{2}{{27}}\];
\[{u_5} = \dfrac{2}{{{3^4}}} = \dfrac{2}{{81}}\].
Chọn D.
Câu 17. Ta có \[{u_n} = 4 - 3n - {n^2} = - {\left[ {n - \dfrac{3}{2}} \right]^2} + \dfrac{{25}}{4} \le \dfrac{{25}}{4}\]
Chọn C.
Câu 18. Ta có 3 số này lập thành một cấp số cộng, do đó:
\[{x^2} = \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{2} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
Chọn C.
Câu 19. Ta có \[{u_5} = [ - 3].{\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]^4} = - \dfrac{{16}}{{27}}\]
Chọn B.
Câu 20. Ta có \[\begin{array}{c}{S_{13}} = n{u_1} + \dfrac{{n[n - 1]}}{2}d = 13.2 + \dfrac{{13.12}}{2}.d\\ \Leftrightarrow d = 3 \Leftrightarrow {u_{13}} = 2 + 13.3 = 38\end{array}\]
Chọn B.
Câu 21. Ta có \[\begin{array}{l}{u_1} + {u_{20}} = {u_1} + {u_1} + 19d = {u_1} + d + {u_1} + 18d\\ = {u_2} + {u_{19}} = {u_5} + {u_{16}} = {u_8} + {u_{13}}\end{array}\]
Chọn D.
Câu 22. Ta có cấp số nhân với công bôi q = 3 nên \[{u_n} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}\]
Chọn B.
Câu 23. Dân số của thành phố A sau 3 năm là: \[{u_3} = 3 000 000. {[1 + 2\% ]^3} = 3183624\]
Chọn A.
Câu 24. Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11}\\{{u^2}_{31} + {u^2}_{34} = 101}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\{u^2}_{31} + {[11 - {u_{31}}]^2} = 101\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} = 1\\{u_{34}} = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} = 10\\{u_{34}} = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 89\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 100\\d = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 89\\d = 3\end{array} \right.[d > 0]\end{array}\]
\[{u_n} = - 89 + [n - 1]3 = 3n - 92\]
Chọn C.