+ Hàm số y = f[x] nghịch biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f[x1] > f[x2]
+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = [f[x1]- f[x2]][x1 - x2] hoặc .
Nếu A > 0 [hoặc B > 0 ] thì hàm số đồng biến.
Nếu A < 0 [hoặc B < 0] thì hàm số nghịch biến.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
- y = f[x] = 3x-7 .
- y = g[x] = -2x+5 .
- y = h[x] = √[x+2]
Hướng dẫn giải:
- Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.
- Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:
Vậy hàm số y = g[x] nghịch biến trên toàn tập số thực.
- Đkxđ : x ≥ -2.
Lấy x1 ≠ x2 thỏa mãn x1; x2 ≥ -2 ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
- f[x] = x2 + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.
- g[x] = -x2 + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.
Hướng dẫn giải:
- Lấy x1 ; x2 ∈ R ta có :
+ Với mọi x1 < -1 ; x2 < -1 thì x1 + x2 + 2 < 0
Vậy hàm số f[x] = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.
+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0
Vậy hàm số f[x] = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.
- Lấy x1 ; x2 ∈ R, xét :
+ Với mọi x1 < 2 ; x2 < 2thì x1 + x2 < 4.
Do đó
Vậy hàm số f[x] = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.
+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0
Vậy hàm số f[x] = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải:
Đkxđ : x ≤ 1.
Ta có:
Lấy x1; x2 < 1 ta có:
Suy ra hàm số y = f[x] nghịch biến trên tập xác định của nó.
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Bài 1: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f[x] được gọi là đồng biến trên tập D khi :
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Bài 2: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f[x] được gọi là nghịch biến trên tập D khi :
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
- Hàm số có tập xác định x < 1.
- Hàm số có tập xác định x > 1.
- Hàm số đồng biến trên tập xác định
- Hàm số nghịch biến trên tập xác định.
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Bài 4: Cho hàm số y = x2 - 6x . Hàm số đồng biến khi :
- 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.
Hướng dẫn giải:
f[x] = x2 - x + 1
+ Lấy x1; x2 < 1/2 bất kì ta có:
Với x1; x2 < 1/2 thì x1 + x2 < 1 nên x1 + x2 - 1 < 0 .
Hay hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .
+ Lấy x1; x2 > 1/2 bất kì ta có x1 + x2 > 1 , suy ra x1 + x2 - 1 > 0
Suy ra
Hay hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .
Bài 9: Chứng minh hàm số đồng biến với x > 2.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: x ≠ 2 .
Lấy x1; x2 > 2. Ta có:
Với x1;x2 > 2 ta có: 2 - x1 < 0 ; 2 - x2 < 0
Do đó
Vậy hàm số đồng biến với x > 2.
Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực.
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số y = f[x] = ax + 3.
Lấy x1 ; x2 ∈ R bất kì.
Ta có :
Để hàm số nghịch biến trên R thì hay a < 0.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
- Phương pháp Tìm tập xác định của hàm số
- Phương pháp Tìm tập giá trị của hàm số
- Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
- Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến
- Cách làm bài toán Đồ thị hàm số lớp 9 cực hay [có lời giải]
- Bài toán hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau
- Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay
- Bài toán Đồ thị hàm số trị tuyệt đối cực hay
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Chuyên đề Đại Số 9
- Chuyên đề: Căn bậc hai
- Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
- Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
- Chuyên đề Hình Học 9
- Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề: Đường tròn
- Chuyên đề: Góc với đường tròn
- Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Hàm số đồng biến và nghịch biến khi nào lớp 9?
Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f[x] cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f[x] giảm và x giảm thì f[x] tăng.
Thế nào là nghịch biến?
Nghịch biến: Một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng xác định nếu giá trị của hàm số giảm khi biến số tăng trong khoảng đó. Trong trường hợp của hàm số lượng giác, chẳng hạn cos[x], khi x tăng thì giá trị của cos[x] giảm.
Thế nào là hàm số đồng biến trên R?
Một hàm số được gọi là đồng biến trên R nếu giá trị của hàm số tăng khi giá trị của biến đổi tăng. Nghĩa là nếu x1 và x2 là hai số bất kỳ thuộc tập R [tập số thực], và x1 < x2, thì f[x1] < f[x2]. y[x2], trong đó y[x1] và y[x2] lần lượt là giá trị của hàm số tại x1 và x2.
Hàm số luôn đồng biến khi nào?
Định lí về tính đồng biến nghịch biến của hàm số Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b]. Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với: Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f'[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.