Giải bài tập trong sách bài tập giải tích 12

Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

1. \(y = 3{x^2} - 8{x^3}\)

2. \(y = 16x + 2{x^2} - {{16} \over 3}{x^3} - {x^4}\)

3. \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)

4. \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\)

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: R

\(y' = 6x - 24{x^2} = 6x(1 - 4x)\)

y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = {1 \over 4}} \cr} } \right.\)

y' > 0 trên khoảng (0;\({1 \over 4}\) ) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0;\({1 \over 4}\) )

y' < 0 trên các khoảng (-∞;0 ); \(({1 \over 4}; + \infty )\), suy ra y nghịch biến trên các khoảng (-∞;0 ); \(({1 \over 4}; + \infty )\)

2. TXĐ: R

\(y' = 16 + 4x - 16{x^2} - 4{x^3} = - 4(x + 4)({x^2} - 1)\)

y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = - 4} \cr {x = - 1} \cr {x = 1} \cr} } \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +∞)

3. TXĐ: R

\(y' = 3{x^2} - 12x + 9\)

y'=0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = 3} \cr} } \right.\)

y' > 0 trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) nên y đồng biến trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

4. TXĐ: R

\(y' = 4{x^3} + 16 = 4x({x^2} + 4)\)

y' = 0 <=> x = 0

y' > 0 trên khoảng (0; +∞) => y đồng biến trên khoảng (0; +∞)

y' < 0 trên khoảng (-∞; 0) => y nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)

Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

1. \(y = {{3 - 2x} \over {x + 7}}\)

2. \(y = {1 \over {{{(x - 5)}^2}}}\)

3. \(y = {{2x} \over {{x^2} - 9}}\)

4. \(y = {{{x^4} + 48} \over x}\)

5. \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\)

7. \(y = {{{x^2} - 5x + 3} \over {x - 2}}\)

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: R\ {-7}

\(y' = {{ - 17} \over {{{(x + 7)}^2}}}\)

y' < 0 trên các khoảng (-∞; -7), (-7; +∞) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

2. TXĐ: R\ {5}

\(y' = {{ - 2} \over {{{(x - 5)}^3}}}\)

y' < 0 trên khoảng (5; +∞) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +∞)

y' > 0 trên khoảng (-∞; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-∞; 5)

3. TXĐ: R\{-3; 3}

\(y' = {{ - 2({x^2} + 9)} \over {{{({x^2} - 9)}^2}}}\)

y' < 0 trên các khoảng (-∞; - 3), (-3; 3), (3; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

4. TXĐ: R\ {0}

\(y' = {{3({x^4} - 16)} \over {{x^2}}} = {{3({x^2} - 4)({x^2} + 4)} \over {{x^2}}}\)

y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = - 2} \cr {x = 2} \cr} } \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)

5. TXĐ: R \ {-1}

\(y' = {{{x^2} + 2x - 5} \over {{{(x + 1)}^2}}}\)

y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = - 1 - \sqrt 6 } \cr {x = - 1 + \sqrt 6 } \cr} } \right.\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1 - \sqrt 6 ),( - 1 + \sqrt 6 ; + \infty )\)

và nghịch biến trên các khoảng \(( - 1 - \sqrt 6 ; - 1),( - 1; - 1 + \sqrt 6 )\)

7. TXĐ: R\ {2}

\(y' = {{{x^2} - 4x + 7} \over {{{(x - 2)}^2}}} > 0\)

(do \({x^2} - 4x + 7\) có ∆' = - 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ;2),(2; + \infty )\)

Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét tính đơn điệu của các hàm số:

1. \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \)

2. \(y = {{\sqrt x } \over {x + 100}}\)

3. \(y = {x \over {\sqrt {16 - {x^2}} }}\)

4. \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\)

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: [-5; 5]

\(y' = {{ - x} \over {\sqrt {25 - {x^2}} }}\) ; y’ = 0 <=> x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-5; 0) nghịch biến trên khoảng (0; 5)

2. TXĐ: [0; +∞)

\(y' = {{100 - x} \over {2\sqrt x {{(x + 100)}^2}}}\) ; y’ = 0 <=> x = 100

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +∞)

3. TXĐ: (-4; 4)

\(y' = {{16} \over {(16 - {x^2})\sqrt {16 - {x^2}} }} > 0\) ; ∀ x ∈ (-4; 4).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-4; 4).

4. TXĐ: (-∞; \(\sqrt 6 \)) ∪ (\(\sqrt 6 \); +∞)

\(y' = {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {({x^2} - 6)\sqrt {{x^2} - 6} }}\) ; y’ = 0 <=> x = ±3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3), (3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-3;\(-\sqrt 6 \) ), (\(\sqrt 6 \); 3).

Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

1. \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\), x ∈ [0; 2π].

2. \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

3. \(y = \sin {1 \over x}\) , (x > 0)

Hướng dẫn làm bài

1. \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\), x ∈ [0; 2π].

\(y' = 1 - c{\rm{osx }}\) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

2. \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

\(y' = 1 - 2\sin x\) < 0 với x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

3. Xét hàm số \(y = \sin {1 \over x}\) với x > 0.

\(y' = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\)

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):

\({1 \over {{x^2}}}( - \cos {1 \over x}) > 0\) ⟺ \(\cos {1 \over x}\) < 0

⟺ \({\pi \over 2}(1 + 4k) < {1 \over x} < {\pi \over 2}(3 + 4k)\) ,k = 0, 1, 2 ….

⟺ \({2 \over {\pi (1 + 4k)}} > x > {2 \over {\pi (3 + 4k)}}\) , k = 0, 1, 2 ……..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

\(....,({2 \over {(4k + 3)\pi }};{2 \over {(4k + 1)\pi }}),({2 \over {(4k - 1)\pi }};{2 \over {(4k - 3)\pi }}),.....,\) \(({2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}),({2 \over {3\pi }};{2 \over \pi })\)

Và nghịch biến trên các khoảng

……, \(({2 \over {(4k + 1)\pi }};{2 \over {(4k - 1)\pi }}),({2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}),.....,({2 \over \pi }; + \infty )\)