Máy tính online giải phương trình

Giải phương trình bậc hai online, siêu nhanh bằng cách nhập các hệ số vào công cụ giải toán bên dưới:

Ôn lại lý thuyết

Định nghĩa

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng

$$ax^2 + bx +c = 0$$

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là những hệ số và \[a\neq 0\].

Ví dụ: 2x2 8x + 1 = 0

Công thức nghiệm

Biến đổi phương trình tổng quát

\begin{equation}ax^2 + bx + c = 0\label{eq:1}\end{equation}

theo các bước sau:

• Chuyển hạng tử tự do sang bước phải: \[ax^2 + bx = -c\]
• Vì \[a \neq 0\], chia hai vế cho hệ số a, ta có: \[x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\]
• Tách hạng tử \[\frac{b}{a}x\] thành \[2.x.\frac{b}{2a}\] và thêm vào hai vế cùng một biểu thức để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

$$x^2 + 2.x.\frac{b}{2a} + [\frac{b}{2a}]^2 = [\frac{b}{2a}]^2 \frac{c}{a}$$

hay

\begin{equation}[x + \frac{b}{2a}] = \frac{b^2 4ac}{4a^2}\label{eq:2}\end{equation}

Người ta ký hiệu \[\Delta = b^2 4ac\]

và gọi nó là biệt thức của phương trình [\[\Delta\] là một chữ cái Hy Lạp, đọc là đenta].

Bây giờ dùng phương trình \eqref{eq:2}, ta xét mọi trường hợp có thể xảy ra đối với \[\Delta\] để suy ra khi nào thì phương trình có nghiệm và viết nghiệm nếu có.

• Nếu \[\Delta\] > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x _1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, x _2 = \frac{-b \sqrt{\Delta}}{2a}$$

• Nếu \[\Delta\] = 0 thì phương trình có nghiệm kép

$$x _1 = x _2 = \frac{b}{2a}$$

• Nếu \[\Delta\] < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Nguồn SGK Toán 9 tập 2, chương IV, phần $4

Ứng dụng

Có thể tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng bằng phương trình bậc hai và định lý Vi-ét.

Ví dụ: Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x2 27x + 180 = 0

Tiến hành giải phương trình này bằng công cụ phía trên ta có x1 = 15, x2 = 12. Vậy hai số cần tìm là 15 và 12