Nếu phương pháp giải bất phương trình bằng phương pháp xét dấu
Nhị thức bậc nhất là các biểu thức có dạng $ ax+b $, trong đó $ a ≠ 0 $. Cho một nhị thức bậc nhất $ f(x)=ax+b $ thì số $ x₀ = -b/a $ làm cho $ f(x)=0 $ được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất. Show
1.2. Định lí về dấu nhị thức bậc nhấtBây giờ, chúng ta viết lại nhị thức $ f(x) $ thành \[ f(x)=a\left(x-x_0\right) \] Dễ thấy, khi $ x>x_0 \Leftrightarrow x-x_0>0$ thì $ f(x) $ và hệ số $ a $ cùng dấu với nhau, ngược lại, khi $ x Cho nhị thức $ f(x)=ax+b $ với $ a\ne 0 $ thì Để dễ nhớ, ta lập bảng sau và sử dụng quy tắc lớn cùng – bé khác, nghĩa là ứng với những giá trị của $ x $ ở bên phải nghiệm $ x_0 $ thì $ f(x) $ và hệ số $ a $ có cùng dấu, còn ở bên trái thì ngược dấu với hệ số $ a $. Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất Cụ thể, với trường hợp $a>0$ chúng ta có bảng xét dấu của $f(x)$ như sau: còn khi $a<0$ chúng ta có bảng xét dấu như sau: 2. Ví dụ dấu của nhị thức bậc nhấtVí dụ 1. Xét dấu biểu thức $ f(x)=3x+6 $. Hướng dẫn. Ta có $ 3x+6=0 \Leftrightarrow x=-2. $ Hệ số $a=3$ là số dương, nên ta có bảng xét dấu sau đây: Như vậy, $ f(x)>0 \Leftrightarrow x\in (-2,+\infty) $, $ f(x)<0 \Leftrightarrow x\in (-\infty,-2) $ và $ f(x)=0 \Leftrightarrow x=-2. $ Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức $ f(x)=1-3x $. Hướng dẫn. Ta có $ 1-3x=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}. $ Hệ số $a=-3$ là số âm, nên ta có bảng xét dấu sau đây: Như vậy, $ f(x)>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty;\frac{1}{3}) $, $ f(x)<0 \Leftrightarrow x\in (\frac{1}{3};+\infty) $ và $ f(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}. $ 3. Ứng dụng định lý dấu của nhị thức bậc nhất
3.1. Cách lập bảng xét dấu của tích, thương các nhị thức bậc nhấtĐể xét dấu của biểu thức $ P(x) $ gồm tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất, ta thực hiện như sau:
Ví dụ 3. Lập bảng xét dấu biểu thức \[ P(x)=(x-1)(x+2) \] Hướng dẫn. Đầu tiên, chúng ta tìm nghiệm của từng nhị thức, có:
Sau đó, ta lập bảng xét dấu của $ P(x) $ như sau:
Ví dụ 4. Lập bảng xét dấu của biểu thức $$f(x)=(x+2)(x^2+5x-6).$$ Hướng dẫn. Chúng ta đưa biểu thức $f(x)$ về tích các nhị thức bậc nhất bằng cách phân tích $x^2+5x-6=(x-1)(x+6)$. Do đó, biểu thức $f(x)$ trở thành$$f(x)=(x+2)(x-1)(x+6)$$ Bảng xét dấu như sau: Ví dụ 5. Lập bảng xét dấu của biểu thức $$g(x)=\frac{x+1}{x-7}.$$ Hướng dẫn. Chúng ta có
Từ đó có bảng xét dấu như sau: Ví dụ 6. Lập bảng xét dấu của biểu thức \[ h(x)=\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x+4} \] Hướng dẫn. Rõ ràng biểu thức $ h(x)$ chưa có dạng tích/thương các nhị thức bậc nhất, nên chúng ta cần quy đồng giữ lại mẫu của biểu thức đó. Cụ thể như sau $$h(x)=\frac{-2(x+1)}{\left( x+4\right) \left( x+2\right) }$$ Từ đó lập được bảng xét dấu như hình vẽ dưới đây (có thể ghép dòng $-2$ vào với $x+1$ thành $-2x-2$): Một số lưu ý khi lập bảng xét dấu một biểu thức:
3.2. Sử dụng dấu nhị thức bậc nhất giải bất phương trình tích, bất phương trình thươngPhương pháp chung để giải các bất phương trình tích, thương là:
Ví dụ 7. Giải bất phương trình sau: $$ (2x-3)(4-5x)+(2x-3)>0 $$ Suy ra, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=\left(1;\frac{3}{2}\right)$ Ví dụ 8. Giải bất phương trình sau: $$\frac{4x+3}{\left( x+2\right) ^{2}}-\frac{4}{x+4}<0$$ Suy ra, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ S=\left(-4;-2\right)\cup \left(-2;\frac{4}{3}\right ).$ Ví dụ 9. Giải các bất phương trình sau:
Sau khi đã học cả dấu tam thức bậc hai, các em có thể tham khảo video sau: 3.3. Sử dụng dấu nhị thức bậc nhất giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốiVề phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối xin mời các bạn xem tại đây Phương trình chứa trị tuyệt đối Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối cơ bảnBằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng $|f(x)|<a$ và $|f(x)| > a$ với $a>0$ cho trước. Bất phương trình nhiều dấu giá trị tuyệt đối cơ bảnChúng ta lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối, chi tiết về phương pháp này xin mời các bạn xem một ví dụ sau: Ví dụ 10. Giải bất phương trình |