Số nghiệm thực của phương trình f(x)=f(2 là)
Cho hàm số f(x)có bảng biến thiênnhư sau:Số nghiệm thực của phương trình f(x) = 4 là?
Show
A. 2 Đáp án chính xác
B. 3
C. 4
D. 1
Xem lời giải
Số nghiệm thực của phương trình $(f'(x))^{2}=f(x).f''(x)$ đối với hàm $f(x)$ là đa thức bậc bốn
Số nghiệm thực của phương trình $(f'(x))^{2}=f(x).f''(x)$ đối với hàm $f(x)$ là đa thức bậc bốn
Cho $f(x)$ là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình ${{({f}'(x))}^{2}}=f(x).{f}''(x)$ có số phần tử là
Lời giải chi tiết: Đồ thị hàm $f(x)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và $f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn nên $f(x)=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}})(x-{{x}_{4}})$ với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}$>0.$ Thực hiện lấy đạo hàm ta có:${f}'(x)=f(x)\left( \frac{1}{x-{{x}_{1}}}+\frac{1}{x-{{x}_{2}}}+\frac{1}{x-{{x}_{3}}}+\frac{1}{x-{{x}_{4}}} \right),\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right\}.$ Suy ra $\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-{{x}_{1}}}+\frac{1}{x-{{x}_{2}}}+\frac{1}{x-{{x}_{3}}}+\frac{1}{x-{{x}_{4}}}.$ Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế ta có: $\frac{{f}''(x).f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}}{{{(f(x))}^{2}}}=-\frac{1}{{{(x-{{x}_{1}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{x}_{2}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{x}_{3}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{x}_{4}})}^{2}}}<0,\forall> Vậy ${f}''(x).f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}<0,\forall> Tại các điểm ${{x}_{i}},i=1,2,3,4$ thì ${f}''({{x}_{i}}).f({{x}_{i}})=0<{{({f}'({{x}_{i}}))}^{2}}.$<> Vậy ${f}''(x).f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}<0,\forall> *Mẹo trắc nghiệm: Vì đề bài cho đúng với mọi hàm đa thức bậc bốn có 4 nghiệm phân biệt nên chọn $f(x)=({{x}^{2}}-1)({{x}^{2}}-2)={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2.$ Khi đó ${f}'(x)=4{{x}^{3}}-6x;{f}''(x)=12{{x}^{2}}-6.$ Xét phương trình ${{(4{{x}^{3}}-6x)}^{2}}=({{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2)(12{{x}^{2}}-6)\Leftrightarrow 2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+6=0$ phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án D. *Tổng quát: Với $f(x)$ là hàm đa thức bậc $n$ có $n$ nghiệm phân biệt, khi đó phương trình ${{({f}'(x))}^{2}}=f(x).{f}''(x)$ vô nghiệm. Bài viết gợi ý:
Giải chi tiết: Số nghiệm của phương trình \(f\left( {2 + f\left( {{e^x}} \right)} \right) = 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {2 + f\left( {{e^x}} \right)} \right)\) và đường thẳng \(y = 1\). Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f\left( {2 + f\left( {{e^x}} \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + f\left( {{e^x}} \right) = - 1\\2 + f\left( {{e^x}} \right) = {x_0} \in \left( {2;3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{e^x}} \right) = - 3\\f\left( {{e^x}} \right) = {x_0} - 2 \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\) Tương tự ta có: \(f\left( {{e^x}} \right) = - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} = 1\\{e^x} = {x_1} < - 1\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\). \(f\left( {{e^x}} \right) = {x_0} - 2 \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0. \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} = a < 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\{e^x} = b < 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\{e^x} = c > 0 \Leftrightarrow x = \ln c \ne 0\end{array} \right.\) Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt. Chọn B
Cho $f(x)$ là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình ${{({f}'(x))}^{2}}=f(x).{f}''(x)$ có số phần tử là
Lời giải chi tiết: Đồ thị hàm $f(x)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và $f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn nên $f(x)=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}})(x-{{x}_{4}})$ với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}$ và $a>0.$ Thực hiện lấy đạo hàm ta có:${f}'(x)=f(x)\left( \frac{1}{x-{{x}_{1}}}+\frac{1}{x-{{x}_{2}}}+\frac{1}{x-{{x}_{3}}}+\frac{1}{x-{{x}_{4}}} \right),\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right\}.$ Suy ra $\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-{{x}_{1}}}+\frac{1}{x-{{x}_{2}}}+\frac{1}{x-{{x}_{3}}}+\frac{1}{x-{{x}_{4}}}.$ Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế ta có: $\frac{{f}''(x).f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}}{{{(f(x))}^{2}}}=-\frac{1}{{{(x-{{x}_{1}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{x}_{2}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{x}_{3}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{x}_{4}})}^{2}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right\}.$ Vậy ${f}''(x).f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right\}.$ Tại các điểm ${{x}_{i}},i=1,2,3,4$ thì ${f}''({{x}_{i}}).f({{x}_{i}})=0<{{({f}'({{x}_{i}}))}^{2}}.$ Vậy ${f}''(x).f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}<0,\forall x\in \mathbb{R},$ tức phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn đáp án D. *Mẹo trắc nghiệm: Vì đề bài cho đúng với mọi hàm đa thức bậc bốn có 4 nghiệm phân biệt nên ta chỉ cần chọn một hàm số đa thức bậc bốn có bốn nghiệm phân biệt, chẳng hạn: $f(x)=({{x}^{2}}-1)({{x}^{2}}-2)={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2.$ Khi đó ${f}'(x)=4{{x}^{3}}-6x;{f}''(x)=12{{x}^{2}}-6.$ Xét phương trình ${{(4{{x}^{3}}-6x)}^{2}}=({{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2)(12{{x}^{2}}-6)\Leftrightarrow 2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+6=0$ phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án D. >>Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện: Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2019 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.
Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. |