Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 1 2 4 . 5 x x x x

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CẨM NANG CHO MÙA THI NGUYỄN HỮU BIỂN //www.facebook.com/groups/nguyenhuu bienEmail: [ÔN THI THPT QUỐC GIA] TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Bài 1: Giải bất phương trình 2 21 2 3 4 .x x x x+ − ≥ − − Hướng dẫn - Điều kiện: 2 2 0 0 1 3 411 0 0 .3 41 3 41 8 2 3 4 0 8 8 x x x x x x x ≥ ≤ ≤ − +  − ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤  − − − +≤ ≤  − − ≥  - Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 21 2 [1 ] 2 3 4x x x x x x+ − + − ≥ − − 2 23[ ] [1 ] 2 [ ][1 ] 0x x x x x x⇔ + − − + + − ≥ 2 2 2 2 5 34 1 93 2 1 0 9 10 1 0 1 1 1 3 5 34 . 9 x x x x x x x x x x x x x  − +≥+ + + ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − − −  − −≤  - Kết hợp điều kiện [*], ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5 34 3 41 . 9 8 x − + − +≤ ≤ Bài 2: Giải bất phương trình ][,01102492321 22 Rxxxxxx ∈≥−+−+−+− Hướng dẫn: Điều kiện: 1≥x - Bất phương trình đã cho tương đương với 0410249423211 22 ≥++−+−−+−− xxxxx [ ] ]1[03]13[ 223 6 11 1]2[ 03]13[]2[ 223 ]63[2 11 2 0]269][2][223[2]11[ 2 2 2 ≥      −−+ +− + +− −⇔ ≥−−−+ +− − + +− − ⇔ ≥−−−−−+−−⇔ x xx x xx x x x x xxxxx - Dễ thấy [ ] 1,013]11.3[313 223 6 11 1 22 ≥∀>=−−>−−+ +− + +− xx xx - Hơn nữa [1] .202 ≥⇔≥−⇔ xx Kết hợp điều kiện thu được .2≥x Bài 3: Giải bất phương trình sau: [ ] [ ]2 2 21 log log 2 log 6x x x+ + + > − Hướng dẫn: ĐK: 0 6x< < . [ ] [ ]222 2log 2 4 log 6x x x⇔ + > − [ ]22 22 4 6 16 36 0x x x x x⇔ + > − ⇔ + − > Vậy: 18x < − hay 2 x< So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6x< < . Bài 4: Giải bất phương trình ][,1 23 23 Rx xxx xxxx ∈> −++ −−++− Hướng dẫn: Điều kiện    ≠−++ ≥ 0422 1 23 xxx x - Nhận xét 1,014221422 23 ≥∀>=−++≥−++ xxxx . - Bất phương trình đã cho tương đương với 0217248114227119229 232323 >−+−+−−⇔−++>−−−+− xxxxxxxxxxx TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ]1[01]12[2 11 1]2[0]188][2[ 11 2 22 >      −−+ +− −⇔>+−−+ +− − ⇔ x x xxxx x x - Rõ ràng 1,011]12[21]12[2 11 1 22 ≥∀>=−−>−−+ +− xx x nên [1] 202 >⇔>−⇔ xx Bài 5: Giải bất phương trình: [ ] [ ] [ ]5 5 1 5 log 4 1 log 7 2 1 log 3 2x x x+ − − ≤ + + Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 7 4 2 x− < < [ ] [ ] [ ]5 5 5log 4 1 log 3 2 1 log 7 2x x x⇔ + + + ≤ + − [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 5 5 2 log 4 1 3 2 log 5 7 2 4 1 3 2 5 7 2 12 21 33 0 33 1 12 x x x x x x x x x ⇔ + + ≤ − ⇔ + + ≤ − ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Giao với điều kiện, ta được: 1 1 4 x− < ≤ . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 1 4 x− < ≤ Bài 6: Giải bất phương trình ][221452]1[ 22 Rxxxxxxx ∈+++≥+−− Hướng dẫn: Điều kiện: .Rx ∈ Khi đó : 0]5212[2]522][1[ 222 ≤+−−+++−++⇔ xxxxxxx 0 5212 547]52][1[252214]1[ 0] 5212 ]13[2522][1[ 0 5212 ]13][1[2]522][1[ 0 5212 ]5244[2]522][1[ 22 22222 22 2 22 2 22 22 2 ≤         +−++ +−++−+++−++ +⇔ ≤ +−++ − ++−++⇔ ≤ +−++ −+ ++−++⇔ ≤ +−++ −+−+ ++−++⇔ xxx xxxxxxxx x xxx xx xxx xxx xxx xxx xxx xxxx xxx - Do >++−=+− 16]2[547 222 xxxx 0 nên [2] ]1;[101 −−∞∈⇔−≤⇔≤+⇔ xxx Bài 7: Giải bất phương trình : [ ] 2 2x 1 x 5 x x 1− + + > + Hướng dẫn: x 1+ ≤ : loại [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 1 1 1 x 1: x 5 x 5 x x 5 x x 1 x 1 x 1 5 1 5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5 x 1x 5 x 5 x x 24 15x 40x 20 0 − + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − > − − − ⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > + −+ +  > ⇔ ⇔ >  − + > TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 3 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Bài 8: Giải bất phương trình: [ ]2 25 4 1 [ 2 4]x x x x x+ < + + − [x∈ R]. Hướng dẫn: [ ]2 25 4 1 [ 2 4]x x x x x+ < + + − [*] - ĐK: x[x2 + 2x − 4] ≥ 0 ⇔ 1 5 0 1 5 x x  − − ≤ ≤  ≥ − + - [*] ⇔ 2 24 [ 2 4] 5 4x x x x x+ − > + − ⇔ 2 24 [ 2 4] [ 2 4] 3x x x x x x+ − > + − + [**] TH 1: 1 5x ≥ − + , chia hai vế cho x > 0, ta có: [**] ⇒ 2 22 4 2 44 3x x x x x x + − + − > + Đặt 2 2 4 , 0x xt t x + − = ≥ , ta có bpt: 2 4 3 0t t− + < 1 3t⇔ < < 22 2 7 4 02 41 3 4 0 x xx x x x x  − −  ⇔ 1 17 7 65 2 2 x − + + < < TH 2: 1 5 0x− − ≤ ≤ , 2 5 4 0x x+ − < , [**] luôn thỏa mãn Vậy tập nghiệm BPT [*] là 1 17 7 651 5;0 ; 2 2 S   − + + = − − ∪      Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2 5 3 2 4 1 5 6x x x x+ + − > + + − Hướng dẫn: 2 5 4 1 3 2 5 6 0 1 1[ 2 4][ ] 0 2 5 4 1 3 2 5 6 2 BPT x x x x x x x x x x ⇔ + − + + − − − > ⇔ − + + > + + + − + − ⇔ < Bài 10: Giải bất phương trình 2 2 23[ 2][ 2 2 5] 9 [ 2][3 5 12] 5 7x x x x x x x+ − + − ≤ + + − − + + Hướng dẫn: Điều kiện xác định: 5 2 x ≥ − . Khi đó ta có 33 2 2 2[1] 3 14 15 2[ 2] 2 5 3[ 2] 5 5 7 0x x x x x x x x⇔ + + + − + + − + + − + ≤ 33 2 2 23 18 2[ 2][ 2 5 3] 3[ 2][ 5 3] 3 5 7 0x x x x x x x x⇔ + − − − + + − − + + − + − + ≤ [ ] 2 2 2 22 3 32 2 2[ 2][2 4] 3[ 2][ 4] 5[4 ] [ 2][ 5 9] 0 2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7 x x x x x x x x x x x x + − + − − ⇔ − + + − − + ≤ + + + + + + + + [ ] 2 2 22 3 32 2 4[ 2] 3[ 2] 5[ 2] [ 2] 5 9 0[*] 2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7 x x x x x x x x x x    + + + ⇔ − + + − − − ≤   + + + + + + + +    TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien - Ta có với [ ] 2 2 2 2 3 32 2 4[ 2] 4 3[ 2] 3 [ 2]; [ 2] 3 52 5 3 5 35 5[ 2] 5[ 2] 2 9 9 3 5 7 5 7 x x x x x x x x x x x  + +≤ + < + + + + + ≥ − ⇒  + + + + + + + + + + 218 57 127 5 0, 45 2 x x x + + > ∀ ≥ − - Do đó [*] 2 0 2x x⇔ − ≤ ⇔ ≤ , kết hợp với điều kiện 5 2 x ≥ − ta suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm là 5 2 2 x− ≤ ≤ Bài 11: Giải bất phương trình ][76]1[2 152 ]2[2 2 Rxxx x x ∈++≥++ ++ + Hướng dẫn: Điều kiện: 2 5 −≥x Bất phương trình đã cho tương đương với ]1[0]3[2 652 1]1[0]3][1[2 652 1 0]32[265276242152 22 ≥      ++ +++ −⇔≥+−+ +++ − ≥−+++−+⇔++≥+++−+⇔ x xx xxx xx x xxxxxxxx Chú ý rằng 2 5 ,0]3[2 552 1 −≥∀>++ +++ xx xx nên [1] 101 ≥⇔≥−⇔ xx Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1≥x Bài 12: Giải bất phương trình 2 82 1 2x x x x − + − ≥ Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình: 221 0 0 2 0 8 222 0 2 0 x x xx xx x x x  ≥  − ≥  < − ≤ 1]. Vậy tập nghiệm của BPT là 1 5S= ; 2  + +∞     . Bài 14: Giải bất phương trình 3 32log [ 1] log [2 1] 2x x− + − ≤ Hướng dẫn: ĐK: 1x > . BPT 1 2 3 3 2log [ 1] log [2 1] 2x x⇔ − + − ≤ 3 3 3log [ 1] log [2 1] 1 log [ 1][2 1] 1x x x x⇔ − + − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ 2[ 1][2 1] 3 2 3 2 0x x x x− − ≤ ⇔ − − ≤ 1 2 2 x⇔ − ≤ ≤ . Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là [ ]1;2S = Bài 15: Giải bất phương trình ][,]1[]12][3[ 22 Rxxxxx ∈−≥+−− Hướng dẫn: Điều kiện: 2 1≥x - Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó xx ≠−12 - Bất phương trình đã cho tương đương với 2 133 , 2 13301312212 22133]12[3 ]12[ ]1[3 2222 22 2 2 −≤+≥⇔≥−−⇔++≥−⇔+≥−⇔ −−−≥−⇔−−≥−⇔ +− −≥− xxxxxxxxxxx xxxxxxx xx x x Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm 2 313 +≥x Bài 16: Giải bất phương trình 29122]5124[4 2223 +−≤−+−− xxxxxxx Hướng dẫn: +] Điều kiện:    ≤ ≥ ⇔≥− 0 2 022 x x xx TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 6 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien +] Ta có bất phương trình đã cho tương đương với [ ] ]1[0][]12[02]52[252]12[ 02]52][12[]252][12[ 02]5124[29124 22 23 2223 ≤−⇔≤−−−+−−⇔ ≤−−−−+−−⇔ ≤−+−−−+− xfxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxx +] Với xxxxxxf 2]52[252][ 22 −−−+−= .Đặt xxttxxt 2]0[;2 222 −=⇒≥−= - Khi đó 2]52[22]52[]2[22]52[252 2222 +−−−=+−−−−=−−−+− xtxtxtxxxxxxxx - Ta có 2222 ]32[912416825204]2[8]52[ −=+−=−++−=−−−=∆ xxxxxxxx Do vậy phương trình     −= −= ⇔= 2 1 2 0][ t xt xf Do vậy ta có phân tích 122][22[2]52[252][ 2222 +−+−−=−−−+−= xxxxxxxxxxxf Khi đó [1] 0]122][22][12[ 22 ≤+−+−−−⇔ xxxxxx ]2[,0]22][12[ 2 ≤+−−−⇔ xxxx [Do 2 0122 >+− xx với mọi x thuộc miền xác định] Ta xét một số trường hợp sau: +] TH1: 2 1012 =⇔=− xx [không thỏa mãn] +] TH2] 2 442 2 22 22 2 =⇔    +−=− ≥ ⇔−=− x xxxx x xxx [thỏa mãn] +] TH3 ⇒    +− ⇔     −− 442 2 22 012 222 xxxx x xxx x Hệ phương trình vô nghiệm +] TH4 2 1 22 012 2 − + − Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2 2 2[4 7] 2 10 4 8x x x x x− − + > + − 2 2[4 7] 2 2[4 7] 2[[ 2] 4]x x x x x x⇔ − − + + − − > + − 2[4 7][ 2 2] 2[ 2 2][ 2 2]x x x x x⇔ − − + + > + − + + 2 2 2 2 4 7 2 2 4 4 2 2 2 1 [2 ] [ 2 1] 0 [2 2 1][2 2 1] 0 x x x x x x x x x x x x ⇔ − − > + − ⇔ > + + + + ⇔ − + + > ⇔ + + + − + − > 2 2 1 2 2 1 x x x x  + > − ⇔  + < − − hoặc 2 2 1 2 2 1 x x x x  + > − −  + < − Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T = [ ] 5 412; 1 ; 8  + − − ∪ +∞     Bài 19: Giải bất phương trình 38 2 [4 1][ 14 8 1]x x x x x− ≥ + − + + − . Hướng dẫn: Điều kiện : 1x ≥ 3 3 3[1] 8 2 [4 1][ 1 8 1 16 1] 8 2 [4 1] [4 1] [2]x x x x x x x x x⇔ − ≥ + − − + − + − ⇔ − ≥ + − − + − - Xét hàm số 3 2[ ] ; '[ ] 3 1 0 1f t t t f t t t= − = − > ∀ ≥ ⇒ f[t] đồng biến trên [1;+ ∞ ] mà [2] có [2 ] [4 1]f x f x≥ + − và 2 ,4 1 [1; ]x x+ − ∈ +∞ nên [2] 2 4 1x x⇔ ≥ + − 2 2 4 0 2 4 1 [2 4] 1 1 0 x x x x x x − ≥  ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −  − ≥ 2 22 17 17 17 17 17 17 84 x 17 x 17 0 ; 8 8 x x x x x ≥≥ + ⇔ ⇔ ⇔ ≥  − + − + ≥ ≤ ≥   Bài 20: Giải bất phương trình: [ ] 2[ 2] 2 3 2 1 2 5 3 1x x x x x+ + − + + + + ≥ Hướng dẫn: Điều kiện: 1x ≥− Đặt 2 2 2 2 2 22 3 1 2 5 3 , 0 1 2 x a bx a x b x x ab a b a b   + = −+ =     + = ⇒ + + =    ≥  = −    . Bất phương trình trở thành: 2 2 2 2[ ][ 2 ] 2a b a b ab a b− − + ≥ − 2 2 2 2[ ][ 2 ] [ ] [ ] 0 [ ][ 2 ] [ 2 ] 0 [ 0] [ 2 ][ 1] 0 a b a b b a b a b a b a b a b do a b a b a b ⇔ − − + + − − ≥ ⇔ − − − − ≥ + > ⇔ − − − ≥ TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 8 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TH1: 11 1 1 2 3 2 1 0 3 2 2 2 3 1 1 0 1 3 x x x x x x x x x  ≥− ≥−    + − + ≤ ⇔ ≥− ⇔ − ≤ ≤     + − + − ≤ − ≤ ≤   TH2: 11 1 2 3 2 1 0 1 2 2 3 1 1 0 1; 3 x x x x x x x x x x  ≥ − ≥−    + − + ≥ ⇔ ≤− ⇔ = −     + − + − ≥ ≤− ≥   Vậy bất phương trình có nghiệm 1{ 1} ;3 2 S    = − ∪ −     Bài 21: Giải bất phương trình 5325235010 22 −−+−≥−− xxxxx Hướng dẫn: Điều kiện 10 74525 5 0252 035010 2 2 +≥⇔      ≥ ≥+− ≥−− x x xx xx - Nhận xét 0 53252 4714253252 2 2 2 > −++− +− =−−+− xxx xx xxx - Bất phương trình đã cho tương đương với 02.51123]2[5]5112[2 02.]5][12[320274 ]5][2][12[645925235010 22 2 22 ≥−+−+−−+−⇔ ≥−−−++−⇔ −−−−−++−≥−− xxxxxx xxxxx xxxxxxxx - Đặt ]0;0[,2;5112 2 >>=−=+− babxaxx ta thu được 2 226 ; 2 2260712225112 0]52][[0352 22 22 −≤+≥⇔≥+−⇔−≥+−⇔ ≥⇔≥+−⇔≥+− xxxxxxx bababaabba Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm       +∞+= ; 2 223S Bài 22: Giải bất phương trình xxxxx 215123 232 −+−≤+− Hướng dẫn: Điều kiện 2 0]2[ 1 05123 2 ≥⇔      ≥− ≥ ≥+− x xx x xx Bất phương trình đã cho tương đương với ]1[]1][1[2125123 2232 −++−+−−+≤+− xxxxxxxxxx 0.232]23[3][ 0]1[.2][1[26102 232223 223 ≥+++−++−−++⇔ ≥++−−+−+−⇔ xxxxxxxxxx xxxxxxxx TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 9 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ]1[023223.31 23 2 23 2 ≥ ++ +− + ++ +− −⇔ xxx xx xxx xx Đặt ]0[2323 2 ≥= ++ +− tt xxx xx thì [1] ]2[024231 3 10231 32322 ≥++⇔++≤+−⇒≤≤−⇔≥+−⇔ xxxxxxxttt Nhận thấy [2] nghiệm đúng với 2≥x . Kết luận nghiệm [ ]+∞= ;2S Bài 23: Giải bất phương trình: 23 4 2 2 3 11 x x x xx + + + + ≥ + ++ Hướng dẫn: ĐK: x > -1 - Theo câu a ta có: 2 4 3, 1 1 + + ≥ ∀ > − + x x x x . [1] - Lại có 3 21 1 1 + = + + + + x x x x - Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số 21, 1 + + x x ta được: 21 2 2, 1 1 + + ≥ ∀ > − + x x x [2] Từ [1] và [2], cộng vế với vế ta có: 23 4 2 2 3 11 x x x xx + + + + ≥ + ++ , 1x∀ > − Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình. Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là [ ]1;S = − +∞ Bài 24: Giải bất phương trình sau: 2 2 1 2 2 3 1 1 1 2 1 x x x x x + − + + > − − + Hướng dẫn: Điều kiện: 2 2 0 3 1 0 0 1 2 1 0 x x x x x x  ≥  + + ≥ ⇔ ≥  − − + ≠ - Ta có 2 2 1 32 1 2 3 1 [ 0] 2 4 x x x x   − + = − + ≥ > ∀ ≥    ⇒ 21 2 1 0x x− − + < - BPT 2 21 3 1⇔ + − + < + +x x x x x 1 11 1 3x x x x ⇔ + + − < + + [Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình] - Đặt 1 2x t t x + = ⇒ ≥ vì 0x > . - Ta có 131 1 3 2 1 3 4 t t t t+ − < + ⇔ − < ⇔ < TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NGUYỄN HỮU BIỂN - //www.facebook.com/groups/nguyenhuubien - Suy ra 13 1 132 2 4 4 t x x ≤ < ⇒ ≤ + < [ ]2 2 1 2 1 0 13 105 13 105 1 13 8 84 13 4 0 4 x xx x x xx x  + ≥  − ≥ − +  ⇔ ⇔ ⇔ < − ⇔    > > x x x xx xx xxx xxx ba ba [do ]1≥x - TH2: 3113131 085 022 84 2 2 2 2 2 2 + + + − − . - Xét hàm 2 2 [ ] 1 , 0 '[ ] 1 0 0 1 tf t t t t f t t t = + + > ⇒ = + > ∀ > + [ ]f t⇒ đồng biến 0t∀ > , 1 1[1] 2xx ⇔ > − 22 5 4 0 4; 1x x x x x x⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > < . - Kết hợp 2 4x x> ⇒ > . * 0 2 :x< < [ ] [ ]2[1] [ 2] 1 1 1 2 1x x x x ⇔ − − + > + − +   . - Chia 2 vế cho .[ 2] 0x x − < ta được: [ ]2 1 1 1 1[1] 1 1 2 2x xx x ⇔ − + < − + − − . - Xét hàm 2 2 2 2 1[ ] 1 , '[ ] 1 0 1 1 t t tf t t t t f t t t t + − = − + ∈ ⇒ = − = > ∀ + + R [ ]f t⇒ đồng biến t∀ . Từ đó 1 1[1] 2xx ⇔ < − . Trường hợp này vô nghiệm vì 1 0 2x < − . Đáp số: 4x > . Cách 2: ĐK 0x ≥ + 0x = không là nghiệm. Xét 0 :x > + [ ][ ] 23 2 3 25 4[1] 2 1 4 5 3 4 x x x x x x x x x − + ⇔ − + > − + + − + [ ] 3 2 3 2 1 1[ ] 4 0 2 4 5 3 4 x xf x x x x x x x x  + − ⇔ = − + >  + − + + − +  . + Xét 3 2 3 2 1 1[ ] 2 4 5 3 4 x xg x x x x x