TRONG MẶT PHẲNG với HỆ TỌA ĐỘ viết PHƯƠNG trình đường thẳng cách điểm một khoảng bằng 2 và cách điểm

Bài viết sẽ chia sẻ với các bạn các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, cách viết phương trình đường thẳng và các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 đầy đủ, chi tiết, dễ hiểu nhất.

Các vectơ của đường thẳng

Vectơ chỉ phương

Vectơ pháp tuyến

Các phương trình đường thẳng

Phương trình tổng quát

Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

• ∆∶ ax + c = 0 (a≠0) khi ∆ song song hoặc trùng với Oy
• ∆∶ by + c = 0 (b≠0) khi ∆ song song hoặc trùng với Ox
• ∆∶ ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0) khi ∆ đi qua gốc tọa độ.

Phương trình đoạn chắn

Đường thẳng  cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A(a; 0) và B(0; b) có phương trình đoạn theo chắn là

Phương trình tham số

Phương trình chính tắc

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Xét 2 điểm A(xA; yA), B(xB; yB) với xA ≠ xB , yA ≠ yB. Phương trình đường thẳng AB là:

xA = xB  , phương trình đường thẳng AB: x = xA

yA= yB , phương trình đường thẳng AB: y = yB

Hệ số góc

Phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm Mo(xo; yo) và có hệ số góc k thỏa mãn:

y – yo = k (x – xo)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét 2 đường thẳng D1 : a1x + b1y + c1 = 0 ; D2 : a2x + b2y + c2 = 0. Tọa độ giao điểm D1, D2 là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có các trường hợp sau:

1. Hệ (I) có một nghiệm (xo; yo), khi D1 cắt D2 tại Mo(xo; yo)
2. Hệ (I) có vô số nghiệm khi D1 trùng D2
3. Hệ (I) vô nghiệm khi D1 // D2

Lưu ý: Nếu a2, b2, c2 ≠ 0 thì

Góc giữa hai đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm Mo(xo; yo). Khoảng cách từ điểm M­o đến đường thẳng ∆, ký hiệu là d(Mo,∆) được tính bằng công thức:

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: viết phương trình tham số của đường thẳng

Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:

Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:

Lưu ý:

• Nếu đường thẳng ∆1 cùng phương với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0
• Nếu đường thẳng ∆1 vuông góc có với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: –bx + ay + c’ = 0

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0, ta xét các trường hợp sau:

Tọa độ giao điểm ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình

Góc giữa 2 đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bởi công thức:

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm Mo(xo; yo) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, ta dùng công thức:

Trên đây là những kiến thức về phương trình đường thẳng lớp 10. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì về phần kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết nhé!

Xem thêm: 200+ Bài tập trắc nghiệm Phương trình đường thẳng có lời giải

Đã gửi 13-03-2016 - 18:29

Ta có: d1: y=2x+3 => d: y=2x+c (do d1//d);

Gọi A(0;3) => A thuộc d1.

gọi d2 là đường thẳng qua A và vuông góc với d => d2:y=-0,5x+p( do hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1).

Mà d2 đi qua A => 3=-0,5*0+p => p=3 => d2:y=-0,5x+3;

Gọi B(x;y) là giao điểm của d và d2. Ta có phương trình hoành điểm giao điểm:

2x+c=-0,5x+3 => x=0,4(3-c)=1,2-0,4c =>y=2x+c=2*(1,2-0,4c)+c=2,4+0,2c;

=> B(1.2-0.4c ; 2,4+0,2c)

=> BA= căn5 <=> (1.2-0.4c-0)^2+(2.4+0.2c-3)^2=5 => c= -2  hoặc c=8. => có 2 d thõa mãn y=2x-2 và y=2x+8.

Chúc bạn thành công 

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là một dạng toán thường gặp trong phần hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10. Nhằm giúp quý thầy cô cũng như các bạn có thêm nguồn tài liệu phục vụ quá trình dạy và học, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÀ GÌ?

• 

• 

• 

• 

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh

Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: 

 nhận  làm vectơ pháp tuyến.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 

 nhận  làm vecto chỉ phương, Ta có:

– Đường thẳng d đi qua điểm , nhận  là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là 

 với 

II. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Sau đây chúng tôi sẽ liệt kê các bước viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm một cách tổng quát nhất:

Bước 1: Gọi tỏng quát đường thẳng có dạng y = ax+b (a khác 0)

Bước 2: Với từng điểm cho trước thì thay trực tiếp vào phương trình đường thẳng, ta được 2 phương trình.

Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm a và b

Bước 4: Viết phương trình tổng quát

Với nhiều bài toán dạng này, các bạn đều làm theo 4 bước chung ở trên, sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số dạng đặc biệt cụ thể.

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc trục tọa độ

• Nếu hai điểm cùng nằm trên trục Ox⇒ phương trình đường thẳng là phương trình của trục Ox:y=0
• Nếu hai điểm cùng nằm trên trục Oy⇒ phương trình đường thẳng là phương trình của trục Oy:x=0
• Nếu một điểm nằm trên Ox có tọa độ (a;0) và một điểm nằm trên Oy có tọa độ (0;b) thì phương trình đường thẳng là :
  • x/a+y/b=1    Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0;2) và B(3;0). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A;B

Cách giải:

Vì hai điểm A;B nằm trên hai trục tọa độ nên ta sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn :

AB:x/3+y/2=1

⇔2x+3y−6=0

 2. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Bài toán: Cho hàm số bậc ba y=f(x)=ax3+bx2+cx+d có 2 điểm cực trị A(x1;y1);B(x2;y2) . Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó ?

Với những bài toán hàm số f(x) đã biết thì ta dễ dàng tìm ra tọa độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

Với những bài toán mà hàm số f(x) có hệ số chứa tham số m thì ta sẽ làm như sau để viết được phương trình đường thẳng chứa tham số m của hai điểm cực trị :

Cách giải:

• Bước 1: Tính đạo hàm y′=3ax2+2bx+c
• Bước 2: Chia hàm số y cho y′ ta được:
  • f(x)=Q(x).f′(x)+P(x) với P(x)=Ax+B là hàm số bậc nhất
• Bước 3: Vì f′(x1)=f′(x2)=0 nên:
  • {y1=f(x1)=Ax1+By2=f(x2)=Ax2+B⇒ phương trình đường thẳng là y=Ax+B
  • Từ các bước trên ta tính được công thức tính nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba y=f(x)=ax3+bx2+cx+d là :
  • 2/3(c−b2/3a)x+(d−bc/9a)

Ví dụ:

Cho hàm số y=2x3+3(m−1)x2+6(m–2)x–1. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=−4x+1

Cách giải:

Ta có :y′=6x2+6(m−1)x+6(m−2)

Hàm số có hai cực trị ⇔Δ=(m−1)2−4(m−2)>0

⇔(m−3)2>0⇔m≠3

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=−4x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng −4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

−4=2/3[6(m−2)−9(m−1)2/6]=4(m−2)−(m−1)2

⇔−(m−3)2=−4⇔[m=1 hoặc m=5]

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có cùng hoành độ, tung độ

• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (a;y1) và (a;y2) có dạng : x=a
• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (x1;b) và (x2;b) có dạng : y=b

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(7;2) và B(100;2). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A;B

Cách giải:

Vì hai điểm A,B có cùng tung độ nên

⇒ phương trình đường thẳng AB:y=2

III. BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

Vậy PT tổng quát cần tìm là: 

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: 

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: 

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1

⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)

⇒ 1 = 3.(-2) + b
⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7

Bài 2: Cho hàm số 

. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1

Cách giải:

Ta có :

Hàm số có hai cực trị 

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A (1;2) và B (2;3). Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa	Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát
Phương trình tham số:  Phương trình tổng quát:	Phương trình tham số:  Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có: Vậy PT tổng quát cần tìm là:

Bài 4: Viết phương trình y = ax + b của đường thẳng: 
a) Đi qua điểm A(4; 3), B(2;- 1)
b) Đi qua điểm A(1;- 1) và song song với Ox
Bài giải:a). Phương trình đường thẳng (d) qua A(4; 3) và B(2;- 1) có dạng tổng quát là y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số cần xác định.Vì A(4; 3) ∈ d nên ta có phương trình của (d), do đó ta có: 3 = a.4 + b.Tương tự B(2;- 1) ∈ d nên ta có: – 1 = a.2 + bTừ đó ta tìm được phương trình đường thẳng AB là: y = 2x – 5.Phương trình đường thẳng AB là: y = 2x – 5.

b). y = – 1.

Bài 5: Viết phương trình dạng y = ax + b của đường thẳng đi qua hai điểm M(-1;3) và N(1;2)
Bài giải:Vì đường thẳng có phương trình dạng y = ax + b nên ta cần xác định các hệ số a và b.Đường thẳng đó đi qua M(-1;3) và N(1;2), tức là tọa độ M và N thỏa mãn phương trình y = ax + b.Đường thẳng đi qua M(-1;3) và N(1;2) nên ta có:-a + b = 3 và a + b = 2Giải ra ta có : a=-1/2 ; b=5/2

Vậy phương trình đường thẳng là: y = (-1/2)x + 5/2

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).
Ta có: vecto AB = (3 – 1; 4 – 2) = (2;2)Chọn u(1;1) là VTCP của đt(d) (lấy như vậy để tinh gọn tính toán sau này).vậy VTPT của (d) là n(-1;1).– Phương trình tham số của (d): x = 1 + t ; y = 2 + t (t thuộc R).– Phương trình tổng quát (d): (-1)(x-1) + 1(y-2) = 0 <=> x – y + 1 = 0.– Phương trình chính tắc (d): (x-1)/(-1) = (y-2)/1.– Phương trình theo hệ số góc:Hệ số góc của đường thẳng (d) k = (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1.

Vậy phương trình đường thẳng(d): y = 1(x-1) + 2 <=> y = x+1.

Bài 7: Cho Parabol (P):y=–ײ . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết  A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.

Bài giải:

Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc (P) nên ta có tung độ y =−(1)²=–1 => A(1;−1)

Vì B có hoành độ bằng 2 và thuộc (P) nên ta có tung độ y =–(2)²=−4 ⇒ B(2;−4)

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: y=ax+b

Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nê n ta có:

⇔  

Thay a=-3 và b=2 vào phương trình đường thẳng d thì d là: y=−3x+2

Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là: y=−3x+2

Chú ý: Hai điểm A và B có thể biết trước tọa độ hoặc chưa biết tọa độ ngay, chúng ta cần phải đi tìm tọa độ của chúng.

Vậy là quý thầy cô và các bạn học sinh vừa được chia sẻ cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm nhanh nhất. Hi vọng, đây là sẽ là nguồn tư liệu cần thiết giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách chứng minh hai vectơ vuông góc và bằng nhau tại đường link này nữa bạn nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo dục

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)