Viết phương trình đường elip khi biết độ dài các trục hay tiêu cự.

Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip

A. Phương pháp giải

Cho elip (E): 

 = 1 ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : A1(- a;0), A2(a; 0), B1( 0; - b), B2(0; b)

+ Trục lớn : : A1A2 = 2a , trục nhỏ : B1B2 = 2b

+Hai tiêu điểm F1(-c; 0); F2(c; 0) với c2 = a2 - b2

+ Tâm sai e = 

 < 1

+ Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:

x = ± a; y = ±b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường Elip 

 = 1 có tiêu cự bằng

A. 2     B. 4     C. 9     D.1

Hướng dẫn giải

Ta có a2 = 5; b2 = 4

suy ra c = 

 = 1 .

Tiêu cự bằng: 2c = 2.

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho elip có phương trình:

 . Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là.

A. F1 (-√7; 0), F2 (√7; 0)     B. F1 (-16; 0), F2 (16; 0)

C. F1 (-9; 0), F2 (9; 0)     D. F1 (-4; 0), F2 (4; 0)

Lời giải

Ta có: 

- Tiêu điểm là: F1 (-√7;0), F2 (√7;0)

Chọn A

Ví dụ 3: Cho elip có phương trình: 

 = 1. Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là.

A.A1(-1; 0),A1(1; 0)     B. A1 (0; -1), A1 (0; 1)

C.A1(2; 0),A1 (-1; 0)    D. A1 (-2; 0), A1 (2; 0)

Lời giải

Ta có: a2 = 4 ⇔ a = 2

- Hai đỉnh trên trục lớn là: A1 (-2; 0) , A2 (2; 0)

Chọn D

Ví dụ 4: Cho elip có phương trình: 

 = 1 . Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là.

A. B1(-2; 0), B2(2; 0)     B. B1( 0; 3) và B2(0; 2).

C. B1(-3; 0), B2(-2; 0)     D. B1( 0; -2) và B2(0; 2).

Lời giải

Ta có: b2 = 4 ⇔ b = 2

- Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B1( 0; -2) và    B2(0; 2).

Chọn D

Ví dụ 5: Cho Elip 

 = 1 . Tính tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn của Elip.

A.   

         B.        C.       D.      

Hướng dẫn

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng 

 = 1 ( a > b > 0 ).

Elip 

 = 1 có a2 = 5, b2 = 4 ⇒ c2 = a2-b2 = 1 ⇒ c = 1

Độ dài trục lớn: 2a = 2√5 ; tiêu cự 2c = 2.

Tỉ số 

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho elip ( E): 

 = 1. Tìm a > 0 để diện tích hình chữ nhật cơ sở là 20.

A. 5     B. 4     C. 3        D. 10

Lời giải

Elip ( E) có b2= 1 nên b= 1.

Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là : 2a.

Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là: 2b= 2.

⇒ Diện tích hình chữ nhật cơ sở là:

(2a) . ( 2b) = 2a. 2= 4a

Để diện tích hình chữ nhật cơ sở là 18 thì: 4a= 20 ⇔ a= 5.

Vậy a= 5.

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho Elip 9x2 + 36y2 – 144 = 0. Câu nào sau đây sai?

A. Trục lớn bằng 8.     B. Tiêu cự bằng 4√3

C. Tâm sai bằng 

     D. Trục nhỏ bằng 4

Hướng dẫn giải

Ta có : 9x2 + 36y2 – 144 = 0 ⇔ 

 = 1 ⇒  ⇒ x = 2√3 , e = 

⇒ Trục lớn 2a = 8, trục nhỏ 2b = 4.

Tiêu cự 2c = 4√3 và tâm sai e = 

 .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho Elip có phương trình : 9x2 + 25y2 = 225. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng

A. 15;    B. 40    C. 60    D. 30

Hướng dẫn giải

Ta có 9x2 + 25y2 = 225 ⇔ 

 = 1 ⇒  ⇒ 

Độ dài trục lớn ( chiều dài hình chữ nhật cơ sở ): 2a = 10 .

Độ dài trục nhỏ ( chiều rộng hình chữ nhật cơ sở) 2b = 6 .

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: (2a). (2b) = 10.6 = 60

Chọn C.

Ví dụ 9 : Tâm sai của elip 

 = 1 bằng

A. 0,4;    B. 0, 2    C. 

 D. 4

Hướng dẫn giải

Từ dạng của elip 

 = 1 ta có  .

Từ công thức b2 = a2 - c2 ⇒ c = 1 .

Tâm sai của elip e = c/a ⇒ e = 

 =  .

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho elip ( E): 

 = 1 với a> 0. Tìm a để elip (E) có tâm sai e= 3/5

A. 5     B. 6     C. 9     D. 4

Lời giải

+ Elip ( E):  = 1 có b2= 16 nên b= 4.

⇒ c2= a2- b2 = a2 - 16

⇒ c= 

+ Tâm sai của elip ( E) là: e = 

+ Theo đầu bài tâm sai e = 3/5 nên : 

⇔ 5.

 = 3a ⇔ 25( a2 – 16) = 9a2

⇔ 25a2 – 400 = 16a2 ⇔ 16a2 = 400

⇔ a2 = 25 mà a> 0 nên a= 5.

Chọn A.

Ví dụ 11 : Cho elip ( E): 

 = 1. Tìm b để elip (E) có chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 20

A. 5     B. 6     C. 8     D. 10

Lời giải

+ Elip ( E):  = 1 có chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a.

⇒Để chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 20 thì: 2a= 20

⇔a= 10.

Chọn D.

Ví dụ 12 : Cho elip ( E): 

 = 1. Tìm a > 0 để tiêu cự của elip là 2√3?

A. 3    B. 4    C. 5       D. 2

Lời giải

+ Elip ( E):  = 1 có b2= 1

⇒ c2= a2- b2 = a2- 1

⇒ c = 

 và tiêu cự của elip ( E) là: 2c= 2.

+ Để tiêu cự của elip là 2√3 thì: 2= 2√3

⇔ = √3 ⇔ a2- 1= 3

⇔ a2= 4 mà a> 0 nên a= 2

Chọn D.

Ví dụ 13: Cho elip có phương trình: 

 = 1 Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là.

A. 9; 4    B. 6; 4    C. 3; 2    D. 4; 6

Lời giải

Ta có:

- Trục lớn: A1 A1 = 2a = 2.3 = 6

- Trục nhỏ: B1 B2 = 2b = 2.2 = 4

Chọn B