Hay nhất
Chọn B
Đặt \[z=x+yi\]. Từ \[\left|z\right|=1\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} =1\Leftrightarrow y^{2} =1-x^{2} .\]
Ta có
\[{\left|z^{4} +z+\frac{1}{2} \right|^{2} =\left|z^{2} +\frac{1}{z} +\frac{1}{2z^{2} } \right|^{2} =\left|z^{2} +\overline{z}+\frac{1}{2} \overline{z}^{2} \right|^{2} } \]
\[=\left|\left[x^{2} -y^{2} +2xyi\right]+\left[x-yi\right]+\frac{1}{2} \left[x^{2} -y^{2} -2xyi\right]\right|^{2} \]
\[=\left|\frac{3}{2} x^{2} -\frac{3}{2} \left[1-x^{2} \right]+x+y\left[x-1\right]i\right|^{2} \]
\[ =\left[3x^{2} +x-\frac{3}{2} \right]^{2} +\left[1-x^{2} \right]\left[x-1\right]^{2} \]
\[=8x^{4} +8x^{3} -8x^{2} -5x+\frac{13}{4} \]
Đặt \[f[x]=8x^{4} +8x^{3} -8x^{2} -5x+\frac{13}{4}\] với \[x\in \left[-1;1\right]\]
\[f'[x]=32x^{3} +24x^{2} -16x-5=0\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{-1}{4} [t/m]} \\ {x=\frac{-1+\sqrt{11} }{4} [t/m]} \\ {x=\frac{-1-\sqrt{11} }{4} [loai]} \end{array}\right. .\]
\[
f\left[-1\right]=\frac{1}{4} ;\, \, \, \, f\left[1\right]=\frac{25}{4} ;\, \, f\left[\frac{-1}{4} \right]=\frac{125}{32} ;\, \, \, f\left[\frac{-1+\sqrt{11} }{4} \right]=\frac{1}{8} .\]
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[\left|z^{4} +z+\frac{1}{2} \right|^{2}\] bằng \[\frac{1}{8}\]
Hay nhất
Chọn B
Đặt \[z=a+bi\], với \[a,b\in {\rm R}\]. Khi đó ta có
\[\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2} \]
\[\Leftrightarrow \sqrt{[a+2]^{2} +[b-1]^{2} } +\sqrt{[a-4]^{2} +[b-7]^{2} } =6\sqrt{2} [*].\]
Giả sử xét các điểm \[N[a;b]\, ,\, A[-2;1]\, ,B[4;7]\]
\[\Rightarrow AB=6\sqrt{2}\] và phương trình đường thẳng \[AB: x-y+3=0.\]
\[[*] \Leftrightarrow NA+NB=AB\Rightarrow \]N thuộc đoạn thẳng AB.
Ta có \[\left|z-1+i\right|=\sqrt{[a-1]^{2} +[b+1]^{2} } =IN\]với điểm I[1;-1].
Dễ có hình chiếu của I nằm trong đoạn thẳng AB
Do đó \[d[I,AB]\le IN\le Max\left\{IA;\, IB\right\}\]
\[\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {M=IN_{\max } =IB=\sqrt{73} } \\ {m=IN_{\min } =d[I,AB]=\frac{5\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. . \]
\[\Rightarrow P=\frac{5\sqrt{2} +2\sqrt{73} }{2}\]
đã hỏi trong Lớp 12 Toán học
· 10:10 29/08/2020
Xét số phức z thỏa mãn z-2-2i=2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z-1-i+z-5-2i bằng
A. 1+10
B. 4
C. 17
D. 5.
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Cách chuyển từ sin sang cos ạ ?
Trả lời [30] Xem đáp án »
-
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng
A. a0, c>0, d0, d