Baài toán 7 1.98 3.97 49.51 năm 2024
Khai thác bài toán tính tổng của dÃy số viết theo quy luËt Dạng 1: dãy số tự nhiên cách đều a, 1 + 2+3 + .... + n = n(n+1)/2 II. DÃy số dạng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100…+ n(n+1) Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b - c Gi¶i: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3…+…+ n(n+1)3 \= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + n(n+1)[(n +2 –(n-1)] \= 1.2.3 +2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + n(n+1)(n +2)- n(n+1)(n-1) \= n(n+1)(n +2) ⇒ A = n(n+1)(n +2)- :3 I. Bµi 1: TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Bài toán 2 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 \= 1.3(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) \= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 \= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + .…+ 97.99.101 - 95.97.99 \= 3 + 97.99.101 1 + 97.33.101 A= 2 \= 161 651 Trong bài toán 1 ta nh©n A víi 3 (a = 3) . Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 (a = 6). Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử. 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3 Bài toán 3 : TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Gi¶i : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 \= 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) 1 \= 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 \= 98.99.100.101 ⇒ A = 98.99.25.101 \= 24 497 550 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán: Bài toán 4 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 \= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) \= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 \= 15 + 95.97.99.101 ⇒ A= 15 + 95.97.99.101 8 \= 11 517 600 Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân A với n 8 (bốn lần khoảng cách). Nh vậy để giải bài toán dạng n(n + k)(n + 2k) ta n =1 nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán: Bài toán 5 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + … + (98 + 1).100 \= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100 \= (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100) \= 98.100.102 : 6 + 102.50:2 \= 166600 + 2550 \= 169150 C¸ch kh¸c A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) \= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99 \= (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + + 99) \= 171650 2500 \= 169150 Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dÃy số mà ta đà biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc. Làm tơng tự với các bài toán: 2 Bài toán 6 : Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Gi¶i : A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) \= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100 \= (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100) \= 333300 + 5050 \= 338350 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán: Bài toán 7: Tính A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Gi¶i : A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) \= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 \= 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) \= 1 + 4998 + 161651 \= 166650 Trong bài toán 5 và 7 có thĨ sư dơng : (n - a) × ((n + a) = n2 - a2 ⇒ n2 = (n - a)(n + a) + a2 a là khoảng cách giữa các cơ số Bài toán 8 Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3) \= ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) \= ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) \= 13517400 – 3.171650 \= 13002450 Thay ®ỉi sè mị của bài toán 7 ta có bài toán: Bài toán 9 : TÝnh A = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Gi¶i Sư dơng : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n ⇒ n3 = n + (n - 1)n(n + 1) ⇒ A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 \= (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) \= 5050 + 101989800 = 101994850 3 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán . Bài toán 10: Tính A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Gi¶i : Sư dơng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n ⇒ n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n ⇒ A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 \= 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99) \= 1 + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n. ë bài toán 8, 9 ta có thể làm nh bài toán 6, 7. Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có: Bài toán 11: Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) \= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 \= (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) \= 25497450 – 333300 \= 25164150 Víi c¸ch khai th¸c nh trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay ®ỉi sè h¹ng ci cïng cđa d·y b»ng sè h¹ng tỉng qu¸t theo quy lt cđa d·y. 1. TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 2. TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 3 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 4. TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 5. TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 6. TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512
4 n 1 1 \= − a.(a + n) a a + n - - - Chøng minh - - n ( a + n) − a a+n a 1 1 \= \= − \= − a.(a + n) a.(a + n) a.(a + n) a.(a + n) a a + n ∗ Bµi 1.1: TÝnh a) A= B= c) b) 1 1 1 1
C= D= 3 3 3 3
10 10 10 10
d) 4 4 4 4 +
∗ Bµi 1.2: TÝnh: a) A= B= c) 1 1 1 1
b) 1 1 1 1
C= 2 3 2 3 2 3 −
Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mÃn: x 1 1 1 1 5 − − − ... − \= 120 8
b) 7 4 4 4 4 29
1 1 1 1 15
∗ Bµi 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta ®Ịu cã: 5 1 1 1 1 n
∗ Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥ 2 ta cã: 3 3 3 3 1
∗ Bµi 1.6: Cho ∗ Bµi 1.7: A= 4 4 4 16 16
2 2 2 ; ; ;... Cho d·y sè : 4.11 11.18 18.25
Cho Cho ∗ Bµi 1.10: Cho ∗ Bµi 1.11: Cho ∗ Bµi 1.12: Cho ∗ Bµi 1.13: Cho ∗ Bµi 1.14: Cho ∗ Bµi 1.15: Cho ∗ Bµi 1.16: Cho A= 1 1 1 1 2 8 + 2 + 2 + ... + 2 < A< 2 9 2 3 4 9 . Chøng minh 5 A= 2 2 2 2 1003 + 2 + 2 + ... + A< 2 2 2008 3 5 7 2007 . Chøng minh: B= 1 1 1 1 334 + 2 + 2 + ... + B< 2 2 2007 4 6 8 2006 . Chøng minh: S= 1 1 1 1 + 2 + ... + S< 2 2 12 5 9 409 . Chøng minh: A= 9 9 9 9 3 + 2 + 2 + ... + A< 2 2 4 5 11 17 305 . Chøng minh: B= 8 24 48 200.202
A= 11 18 27 1766 20 20 + + + ... + 40 < A < 40 9 16 25 1764 . Chøng minh: 43 21 B= 2 2 32 4 2 52 99 2
C= 3 8 15 2499 + + + ... + 4 9 16 2500 . Chøng minh C > 48 6 ∗ Bµi 1.17: Cho M < M = 1 1 1
N= 1 .4 2 .5 3 .6 98.101
2 3 Bài1.18: Cho ã Mở réng víi tÝch nhiỊu thõa sè: 2n 1 1 \= − a (a + n)( a + 2n) a (a + n) ( a + n)(a + 2n) Chøng minh: 2n ( a + 2n) − a a + 2n a 1 1 \= \= − \= − a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n) 3n 1 1 \= − a (a + n)(a + 2n)(a + 3n) a (a + n)( a + 2n) ( a + n)(a + 2n)(a + 3n) S= 2 2 2
A= 1 1 1 1
B= 36 36 36
C= 5 5 5 1
∗ Bµi 1.19: TÝnh ∗ Bµi 1.20: Cho ∗ Bµi 1.21: Cho ∗ Bµi 1.22: Cho ∗ Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n ∈ N; n > 1 ta cã: A= 1 1 1 1 1 + 3 + 3 + ... + 3 < 3 4 2 3 4 n ∗ Bµi 1.24: TÝnh M = 1 1 1
1 1 1 + + ... + 51 52 100 P= 1 1 1 1
Bµi 1.26: TÝnh: Q= 1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1002.1004
2005.2007 7 Bµi 1. 27: R= TÝnh: Bµi 1.28: Cho S= 2 2 32 42 2006 2
2 22 23 2 n +1 2 2006
1 So s¸nh S víi 1002 Hướng dẫn: m m mk + m − mk + m 2m m m 2m − \= \= ⇒ \= − k −1 k +1 ( k − 1)(k + 1) k2 −1 k + 1 k −1 k2 −1 Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , … 2005 2 2006 } ta có: 2 2 22 \= − 2005 + 1 2005 − 1 20052 − 1 22 2005 2 + 1 \= 22 2005 2 − 1 − 23 2 2005 2 − 1 ……………….. (2). D·y 2: D·y luü thõa Bµi 2.1: TÝnh : Bµi 2.2: TÝnh: Bµi 2.3: TÝnh: Bµi 2.4: TÝnh: Bµi 2.5: Cho A= 1 n a víi n tù nhiªn. 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 100 2 2 2 2 B= 1 1 1 1 1 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 2 2 2 2 2 2 C= 1 1 1 1 + 3 + 5 + ... + 99 2 2 2 2 D= 1 1 1 1 1 − 4 + 7 − 10 + ... − 58 2 2 2 2 2 A= 2 8 26 3n − 1 1 + + + ... + n A>n− 3 9 27 2 3 . Chøng minh 8 Bµi 2.6: Cho Bµi 2.7: Cho Bµi 2.8: Cho Bµi 2.9: Cho B= 4 10 28 398 + 1 + + + ... + 98 3 9 27 3 . Chøng minh B < 100. C= 5 5 5 5 5 + 2 + 3 + ... + 99 C< 4 4 3 4 4 . Chøng minh: D= 3 5 7 19 + 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 . Chøng minh: D < 1. E= 1 2 3 100 3 + 2 + 3 + ... + 100 E< 3 3 4 3 3 . Chøng minh: Bµi 2.10: Cho Bµi 2.11: Cho Bµi 2.12: Cho Bµi 2.13: Cho Bµi 2.14: Cho Bµi 2.15: Cho 2 F= 4 7 10 3n + 1 11 + 2 + 3 + ... + n F< * 3 3 4 3 3 víi n ∈ N . Chøng minh: G= 5 8 11 302 5 1 + 2 + 3 + ... + 100 2 3 3 2 3 3 . Chøng minh: 9 H= 7 13 19 601 7 + 2 + 3 + ... + 100 3 3 3 3 3 . Chøng minh: 9 I= 11 17 23 605 + 2 + 3 + ... + 100 3 3 3 3 . Chøng minh: I < 7 K= 4 13 22 904 17 + 2 + 3 + ... + 101 K< 3 3 4 3 3 . Chøng minh: L= 7 11 15 403 + 2 + 3 + ... + 100 3 3 3 3 . Chøng minh: L < 4,5. (3). DÃy 3: DÃy dạng tích các phân số viết theo quy luật: Bài 3.1: 8 15 24 2499 A = . . ..... 9 16 25 2500 . TÝnh: Bµi 3.2: 1 1 1 1 1 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,... Cho d·y sè: 3 8 15 24 35
. Bµi 3.3: TÝnh: 1 3 5 199 1 C = . . ..... C2 < 2 4 6 200 . Chøng minh: 201 Bµi 3.4: Cho 9 1 3 5 99 1 1 D = . . ..... 2 4 6 100 . Chøng minh: 15 10 Bµi 3.5: Cho 1 1 1 1 E = + 1 + 1 + 1.... + 1 2 3 4 99 Bµi 3.6: TÝnh: 1 1 1 1 F = − 1 − 1 − 1.... − 1 2 3 4 100 . Bµi 3.7: TÝnh: Bµi 3.8: TÝnh: G= 3 8 15 899 . 2 . 2 ..... 2 2 2 3 4 30 . 1 2 3 4 30 31 H = . . . .... . 4 6 8 10 62 64 . Bµi 3.9: TÝnh: Bµi 3.10: TÝnh: I = 101.10001.100000001.....100 ... 000 1 2 n −1c / s 1 1 1 1 −1 K = 2 − 1 2 − 1 2 − 1.... − 1 2 2 3 4 100 . So s¸nh K víi 2 Bµi 3.11: Cho 1 1 1 1 1 L = 1 − 1 − 1 − ....1 − 2 3 4 20 với 21 Bài 3.12: So sánh 1 1 1 1 11 M = 1 − 1 − 1 − .....1 − 4 9 16 100 với 19 Bài 3.13: So sánh Bài 3.14: Tính: N= 2 2 32 4 2 50 2 . . ..... 1.3 2.4 3.5 49.51 1 2 3 10 P = 1 − 1 − 1 − .....1 − 7 . 7 7 7 Bµi 3.15: TÝnh 2 2 2 2 Q = 1 − 1 − 1 − .....1 − 3 5 7 2007 Bµi 3.16: TÝnh: 1 1 1 1 1 1 1 1 T = − − − ..... − 2 3 2 5 2 7 2 99 Bµi 3.17: Tính: Bài 3.18: So sánh: U= 1.3.5.7.....39 1 V = 20 21.22.23.....40 và 2 1 1 1 1 1 V = 1 + 1 + 1 + .....1 + 1.3 2.4 3.5 99.101 . Chøng minh V < 2. Bµi 3.19: Cho 2 4 6 200 S = . . ..... 1 3 5 199 . Chøng minh: 201 < S 2 < 400 Bµi 3.20: Cho 10 1 4 7 10 208 1 A = . . . .... A< 3 6 9 12 210 . Chøng minh: 25 Bµi 3.21: Cho Bµi 3.22: TÝnh: B= 12 2 2 3 2 100 2 . . ..... 1.2 2.3 3.4 100.101 1999 1999 1999 1999 1 + 1 + 1 + .....1 + 1 2 3 1000 C= 1000 1000 1000 1000 1 + 1 + 1 + .....1 + 1 2 3 1999 Bµi 3.23: TÝnh: 4 1 4 4 D = 1 − 1 − 1 − .....1 − 2 1 9 25 (2n − 1) Bµi 3.24: TÝnh: , víi n ∈ N, n ≥ 1 1 1 1 E = 1 − 1 − .....1 − 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + ... + n Bµi 3.25: Cho vµ F= n+2 E n víi n ∈ N*. TÝnh F 1 1 1 1 1 1 G = 1 + 1 + 1 + 1 + ....1 + 1024 H = 2047 2 4 16 256 2 vµ 2 Bµi 3.26: Cho TÝnh: G + H. n n 1.3 + 2 3.5 + 2 15.17 + 2 255.257 + 2 (2 2 − 1)(2 2 + 1) + 2 I= . . . ..... n 4 16 256 65536 22 Bµi 3.27: Cho víi n ∈
I< 4 3 1 1 1 1 1 1 ;1 2 ;1 4 ;1 8 ;1 16 ;.... Bµi 3.28: Cho d·y sè: 3 3 3 3 3
nhiên.
B= 3 3 2A n 5 13 97 32 + 2 2 A = . 2 . 4 ..... n 6 6 6 62 Bµi 3.29: Cho n vµ 11 B= 1 6 2 n +1 −1 víi n ∈ N
M = A B là số tự nhiên
n 7 37 1297 62 + 1 A = . 2 . 4 ..... 2n 3 3 3 3 Bµi 3.30: Cho 1 1 1 1 1 B = 1 + 1 + 2 1 + 4 .1 + 8 ....1 + 2 n 3 3 3 3 3 víi n ∈ N
n 5 13 97 3 2 + 2 2 A = . 2 . 4 .... n 3 3 3 32 Bµi 3.31: Cho .( víi n ∈ N ) Chứng minh: A < 3. (4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp: Bài 4.1: Tính: A= 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + 3 + ... + 98) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99 B= 1.98 + 2.97 + 3.96 + ... + 98.1 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99 Bµi 4.2: TÝnh: Bµi 4.3: 1 1 1 1
C = 1.300 2.301 3.302 1 1 1 1
Bµi 4.4: 1 1 1 100 − 1 + + + ... + 2 3 100 D= 1 2 3 99 + + + ... + 2 3 4 100 TÝnh: Bµi 4.5: 1 1 1 1
Bµi 4.6: 5 5 5 15 15 + − 15 − + 3 9 27 : 11 121 F= 8 8 8 16 16 8− + − 16 − + 3 9 27 11 121 TÝnh 5− 12 Bµi 4.7: 2 1 1 1 1 1,2 : 1 .1 3 + : 2 15 5 2 5 4 G= − 2 1 43 3 0,32 + 5 − 2 : 4 25 4 56 7 TÝnh Bµi 4.8: 1 2 3 98 99 1 2 3 92
100 45 50 55 500 TÝnh Bµi 4.9: 2 2 2 4 4 4
19 43 1943 29 41 2941 TÝnh Bµi 4.10: 12 12 12 3 3 3 − − 3+ +
2− 12 − L= 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20 Bµi 4.11: TÝnh Bµi 4.12: 2 4 3 1,6 : 1 .1,25 1,08 − : 2 25 7 5 + M = + 0,6.0,5 : 1 1 2 5 5 0,64 − 5 − 2 .2 25 4 17 9 TÝnh Bµi 4.13: 1 94 38 11 N = 8 11 −6 :8 5 1591 1517 43 TÝnh Bµi 4.14: 5 4 5 P = 10101.
222222 3 . 7 . 11 . 13 . 37 TÝnh Bµi 4.15: 1 1 1 1 + + + ... + 3 5 7 99 Q= 1 1 1 1 1
Bµi 4.16: 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 200 R= 1 2 3 198 199
1+ 13 |