- LG a
- LG b
Tam giác \[ABC\] có \[AB=c, BC=a, AC=b.\]
LG a
Tính các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \] và \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \\ = \dfrac{1}{2}[|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} {|^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {BC} ^2}]\\= \dfrac{1}{2}[{\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {BC} ^2}]\\ = \dfrac{1}{2}[{b^2} - {c^2} - {a^2}].\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\ = \dfrac{1}{2}[{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} - {[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ]^2}]\\= \dfrac{1}{2}[{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {CB} ^2}]\\ = \dfrac{1}{2}[{c^2} + {b^2} - {a^2}].\end{array}\]
LG b
Tính độ dài trung tuyến \[AM\] của tam giác \[ABC.\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[AM\] là đường trung tuyến của tam giác \[ABC\] nên :
\[\begin{array}{l}A{M^2} = {\overrightarrow {AM} ^2} = \dfrac{1}{4}{[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ]^2}\\ = \dfrac{1}{4}[{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ]\\= \dfrac{1}{4}[{c^2} + {b^2} + {c^2} + {b^2} - {a^2}]\\ = \dfrac{1}{4}[2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}].\end{array}\]
Vậy \[AM = \dfrac{1}{2}\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} .\]