- LG a
- LG b
Cho các phương trình:
\[x^2+ 3x - m + 1 = 0\] [1]và \[2x^2-x + 1 - 2p = 0\] [2]
a] Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.
b] Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.
LG a
Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.
Lời giải chi tiết:
* Xét phương trình \[{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Ta có: [1] \[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }}\]
Gọi [d] là đường thẳng \[y = m\].
Đồ thị hàm số \[y = x^2+3x + 1\] là parabol [P] có đỉnh là điểm \[[-1,5; -1,25]\] và hướng bề lõm lên trên.
Do đó:
+ Khi \[m < -1, 25\] thì [d] không cắt [P], phương trình vô nghiệm.
+ Khi \[m = -1,25\] thì [d] và [P] có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
+ Khi \[m > -1,25\] thì [d] cắt [P] tại hai điểm. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
* Xét phương trình \[2x^2-x + 1 2p = 0\] [2]
[2] \[ 2x^2 x + 1 = 2p\]
Gọi [d] là đường thẳng \[y = 2p\]; [P] là parabol \[y = 2x^2 x + 1 \]
Parabol [P] có đỉnh tại điểm: \[[{1 \over 4};\,{7 \over 8}]\]và hướng bề lõm lên trên.
Do đó:
+ Nếu \[2p < {7 \over 8}\], tức là \[p < {7 \over {16}}\]thì [d] không cắt [P], phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \[2p = {7 \over 8}\], tức là \[p = {7 \over {16}}\]thì [d] và [P] có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
+ Nếu \[2p > {7 \over 8}\], tức là \[p > {7 \over {16}}\]thì [d] cắt [P] tại hai điểm chung, phương trình có hai nghiệm.
LG b
Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình [1] có : \[{\Delta _1}\] = 9 + 4m 4 = 4m + 5
- Nếu 4m + 5 < 0 m < -5/4 = -11/4 thì [1] vô nghiệm
- Nếu 4m + 5 = 0 m = -11/4 thì [1] có nghiệm kép
- Nếu 4m + 5 > 0 m > -11/4 thì [1] có hai nghiệm phân biệt
Rõ ràng kết quả biện luận bằng đồ thị số nghiệm của [1] và kết quả biện luận số nghiệm của [1] bằng phép tính là như nhau.
Xét phương trình :
2x2 x + 1 2p = 0, có \[{\Delta _2}\] = 1 8 + 16p = 16p - 7
- Nếu 16p 7 < 0 p < 7/16 thì [2] vô nghiệm
- Nếu 16p 7 = 0 p = 7/16 thì [2] có nghiệm kép x = 1/4
- Nếu 16p 7 > 0 p > 7/16 thì [2] có hai nghiệm phân biệt
Ta thấy kết quả biện luận số nghiệm bằng đồ thị và kết quả biện luận số nghiệm của [2] bằng phép tính là như nhau.