Bài tập hằng đẳng thức số 1 2 3 năm 2024
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức có thể nói quan trọng nhất trong trương trình toán lớp 7 và các cấp về sau. Trong bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng biến đổi tương đương của chúng. Ngoài ra sẽ luyện tập áp dụng các hằng đẳng thức vào làm những dạng bài tập cơ bản. Cho hai biểu thức A và B. Từ hai biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:
⇒ A² +B² \= (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB
2. Bài tập vận dụng:Bài tập 1: Sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng
Lời giải
Bài tập 2: Sử Dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:
*Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức (A ± B)² \= A² ± 2AB+B² A = (x+y)² – (x-y)² \= x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy *Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức A²–B \= (A + B)(A – B) A=(x+y)² – (x-y)² \= (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy
*Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức (A ± B)² \= A² ± 2AB+B² B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² \= x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y² *Cách 2: B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² \= (x + y – x + y)² \= (2y)² \= 4y² Bài tập 3: Tính nhanh các biểu thức sau
Lời giải:
3. Các dạng biến đổi cần lưu ý
Chú ý: Dựa vào 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên ta còn có thể biến đổi và suy ra các đẳng thức tương đương như sau: Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta có thể mở rộng thêm các đẳng thức sau: Câu 1: Tính: a, (x + 2y)2 b, (x – 3y)(x + 3y) c, (5 – x)2 Lời giải: a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2 c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2 Câu 2: Tính: a, (x – 1)2 b, (3 – y)2 c, (x – 1/2)2 Lời giải: a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1 b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2 c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4 Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng: a, x2 + 6x + 9 b, x2 + x + 1/4 c,2xy2 + x2y4 + 1 Lời giải: a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2 b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2 c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2 Câu 4: Rút gọn biểu thức: a, (x + y)2 + (x – y)2 b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2 c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z) Lời giải: a, (x + y)2 + (x – y)2 \= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2 \= 2x2 + 2y2 b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2 \= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2 c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z) \= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2 \= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2 Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1. Lời giải: Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N) Ta có: a2 = (5k + 4)2 \= 25k2 + 40k + 16 \= 25k2 + 40k + 15 + 1 \= 5(5k2 + 8k +3) +1 Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5 Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1. Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau: a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13 b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101 c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97 Lời giải: a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y) b, Thay x = 87, y = 13, ta được: x2 – y2 = (x + y)(x – y) \= (87 + 13)(87 – 13) \= 100.74 = 7400 c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27 \= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 \= (x + 3)3 Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000 Câu 7: Chứng minh rằng: a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3 b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3 c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 Lời giải: a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3 Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] \= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3 Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh. c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 \= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2 \= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2) \= (a2 + b2)(c2 + d2) Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh. Câu 8: Chứng tỏ rằng: a, x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x b, 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x Lời giải: a, Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1 Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x. b, Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1 Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x. Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x. Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức: a, P = x2 – 2x + 5 b, Q = 2x2 – 6x c, M = x2 + y2 – x + 6y + 10 Lời giải: a, Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4 Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4 Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1 Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1. b, Ta có: Q = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 – 9/4 ) \= 2[(x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2(x – 2/3 )2 – 9/2 Vì (x – 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x – 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2/3 )2 – 9/2 ≥ – 9/2 Suy ra: Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x – 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3 Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 . c, Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1) \= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4 Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0 ⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4 ⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0 ⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2 Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2 ***Quan trọng: Vì bài toán liên quan đến 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là dạng bài toán quan trọng, nên ta phải học thuộc lòng 7 hằng đẳng thức được nhắc tới như thuộc bảng cửu chương. Học thuộc trước khi làm bài sẽ giúp chúng ta nhận diện dạng bài toán nhanh hơn và áp dụng đúng công thức để ra kết quả chính xác nhất. Chúc các bạn đạt điểm cao trong các bài toán liên quan đến hằng đẳng thức. |