Bài tập về dãy số có giới hạn vô cực năm 2024
|
Tài liệu gồm 154 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề giới hạn và liên tục, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học sinh trình Đại số và Giải tích 11 chương 4. BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC.
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] 1.Dãy số có giới hạn $ + \infty $ ĐN: Ta nói rằng dãy số $({u_n})$ có giới hạn là $ + \infty $ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết : $\lim ({u_n}) = + \infty $ hoặc $\lim {u_n} = + \infty $ hoặc ${u_n} \to + \infty $ 2. Dãy số có giới hạn $ - \infty $ ĐN: Ta nói rằng dãy số $({u_n})$có giới hạn là $ - \infty $ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhở hơn số âm đó. Khi đó ta viết : $\lim ({u_n}) = - \infty $ hoặc $\lim {u_n} = - \infty $ hoặc ${u_n} \to - \infty $ $\lim ({u_n}) = - \infty \Leftrightarrow \lim ( - {u_n}) = + \infty $ Các dãy số có giới hạn $ + \infty $ và $ - \infty $ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. Định lí: Nếu $\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty $ thì $\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0$ 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Vì $ + \infty $ và $ - \infty $ không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí trong bài 2 cho các dãy số có giới hạn vô cực. Khi tìm các giới hạn vô cực, ta có thể sử dụng các quy tắc:
Ví dụ: Tìm $\lim \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}}$ Giải: Chia tử và mẫu cảu phân thức cho ${n^3}$(${n^3}$ là lũy thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được $\frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}} = \frac{{3 + \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}$ Vì $\lim \left( {3 + \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 3 > 0,\lim \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0$ và $\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}} > 0$ với mọi n nên $\lim \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}} = + \infty $ Với cách giải các dạng toán về Giới hạn của dãy số môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Giới hạn của dãy số lớp 11. Mời các bạn đón xem: Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập - Toán lớp 11 1. Lý thuyết
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: limn→∞un=0 hay lim un = 0 hay un→0 khi n→+∞.
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0 Kí hiệu: limn→∞un=L hay lim un = L hay un→L khi n→+∞.
Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu: limun=+∞ hoặc un→+∞ khi n→+∞ Dãy số (un) có giới hạn là -∞ khi n→+∞, nếu lim−un=+∞ Ký hiệu: limun=−∞ hoặc un→−∞ khi n→+∞
limun=0⇔limun=0 lim1n=0; lim1nk=0,k>0,k∈ℕ* limnk=+∞,k>0,k∈ℕ* limqn=0 khi q<1+∞ khi q>1
* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có : lim(un + vn) = a + b lim(un - vn) = a - b lim(un vn) = a.b limunvn=ab,b≠0 lim(cun ) = c.a lim|un | = |a| limun3=a3 Nếu un≥0 với mọi n thì a≥0 và limun=a. * Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu vn≤un≤wn, ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a. Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu un≤vn, ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.
* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn) Nếu limun=L≠0, limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim vn lim (unvn) + +∞ +∞ + -∞ -∞ - +∞ -∞ - -∞ +∞ * Quy tắc tìm giới hạn thương lim un = L lim vn Dấu của vn limunvn L ±∞ Tùy ý 0 L > 0 0 + +∞ 0 - -∞ L < 0 0 + -∞ 0 - +∞
Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q q<1 2. Các dạng toán Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt Phương pháp giải: Sử dụng các giới hạn đặc biệt: limun=0⇔limun=0 lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ* limqn=0khi q<1+∞khi q>1 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức Phương pháp giải: Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất). Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất. Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt: limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi q<1+∞ khi q>1 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
Lời giải
\=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0 Vì lim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 và lim1n3=0.
\=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0 Vì lim−5−7n=lim4−7n=0
\=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0 Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0 Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: Lời giải Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: Lời giải Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: limn3+3n23−n Lời giải Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức Phương pháp giải: Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung. Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn) Nếu limun=L≠0, limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim vn lim (unvn) + +∞ +∞ + -∞ -∞ - +∞ -∞ - -∞ +∞ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: Lời giải Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
Lời giải Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức Phương pháp giải: Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung. Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn) Nếu limun=L≠0, limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim vn lim (unvn) + +∞ +∞ + -∞ -∞ - +∞ -∞ - -∞ +∞ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2. Lời giải Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp Phương pháp giải: Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu vn≤un≤wn, ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu un≤vn, ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :
Lời giải Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi Phương pháp giải: Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a. Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a. Ta được giới hạn của (un) là lim un = a. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và un:u1=1un+1=2un+3un+2, n∈ℕ* Lời giải Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a Suy ra a=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3 Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0 ∀n∈ℕ* nên a>0⇒a=3 Vậy limun=3. Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và un:u1=2un+1=2+un, n∈ℕ*. Lời giải Vì u1=2>0; un+1=2+un>0 Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a Suy ra a=2+a⇔a2=a+2 ⇔a2−a−2=0⇔a=−1 (Loại)a=2 Vậy lim un = 2. Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn Phương pháp giải: * Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội) * Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp. * Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu vn≤un≤wn, ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu un≤vn, ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1. Tổng n số hạng của cấp số cộng: Sn=u1+unn2=1+nn2. Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 32 ; 33 ; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3. |
