Bài tập vi phân cấp 1 dạng tuyến tính năm 2024

Uploaded by

Truong Ngoc

0% found this document useful (0 votes)

254 views

3 pages

Original Title

PHƯƠNG-TRÌNH-VI-PHÂN-TUYẾN-TÍNH-CẤP-1

Copyright

© © All Rights Reserved

Available Formats

DOCX, PDF, TXT or read online from Scribd

Share this document

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

0% found this document useful (0 votes)

254 views3 pages

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

Uploaded by

Truong Ngoc

Jump to Page

You are on page 1of 3

Search inside document

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

Chọn C = 1 ta có:

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Suy ra: . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v’(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót

3. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)

Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé)

Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có:

Hay:

Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

Ta có: . Thế vào phương trình (1) ta có:

.

(Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)).

Từ đó:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)

Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: (*)

Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình (*) ta sẽ có:

Hay: (2′)

Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:

Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′):

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng:

Ta có: Thế vào pt (2′) ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là:

4. Phương trình Bernoulli:

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng: (4)

Cách giải:

Nhân 2 vế của pt (4) cho . Ta có:

(4′)

Khi đó, ta đặt: . Ta có:

Thế vào phương trình (4′) ta có:

Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!