- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Quảng cáo
+ Vectơ n→ ≠ 0→ gọi là vectơ pháp tuyến [VTPT] của ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
Nhận xét : Nếu n→ là VTPT của ∆ thì k.n→[k ≠ 0] cũng là VTPT của ∆.
+ Trong mặt phẳng tọa độ; mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:
ax + by + c = 0 với a2 + b2 > 0.
+ Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:
- Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.
- Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với trục Oy.
- Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ.
+ Đường thẳng có phương trình: = 1 [ a ≠ 0; b ≠ 0] đi qua hai điểm A[a; 0] và B[0; b]
Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
+ Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax + by + c= 0
Nếu b ≠ 0 thì phương trình trên được đưa về dạng: y= kx + m [ *]
Khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng ∆ và [ *] gọi là phương trình của ∆ theo hệ số góc.
Quảng cáo
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng : ∆1 = a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 = a2x + b2y + c2 = 0
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 , ∆2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình
Chú ý: Nếu a2b2c2 ≠ 0 thì :
∆1 cắt ∆2 ⇔
∆1 song song ∆2 ⇔
∆1 trùng ∆2 ⇔
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u→ ≠ 0→ được gọi là vectơ chỉ phương [VTCP] của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.
Nhận xét : Nếu u→ là VTCP của ∆ thì k.u→[ k ≠0] cũng là VTCP của ∆.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 [x0; y0] và u→[ a; b] là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
Hệ [ 1] được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆, với tham số t.
Quảng cáo
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 [x0; y0] và u→[a;b] [với a ≠ 0, b ≠ 0 ] là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
[2]
Phương trình [ 2] được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
4. Liên hệ giữa VTCP và VTPT
VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do đó nếu ∆ có VTCP u→[ a; b] thì n→[ b; -a] là một VTPT của ∆.
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm M[x0; y0] đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 cho bởi công thức:
d[M0, ∆] =
6. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng.
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M[xM; yM]; N[xN; yN] không nằm trên ∆. Khi đó:
+ Hai điểm M và N cùng phía so với ∆ khi và chỉ khi:
[ axM + byM + c].[ axN + byN + c] > 0.
+ Hai điểm M và N khác phía so với ∆ khi và chỉ khi:
[ axM + byM + c].[axN + byN + c] < 0.
7. Góc giữa hai đường thẳng.
+ Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.
Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng là 00.
Kí hiệu: [a;b]
+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có:
[a; b] = [ u→; v→] nếu [ u→; v→] ≤ 900
[a; b] = 1800 - [ u→; v→] nếu [ u→; v→] > 900
Trong đó; u→ và v→ lần lượt là VTCP của a và b.
+ Góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có VTPT n1→ = [a1; b1] và n2→ = [a2; b2] được tính theo công thức:
cos[Δ1, Δ2] = cos[n1→, n2→] =
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về phương trình đường thẳng và các dạng phương trình tham số, phương trình tổng quát, phương trình chính tắc,..và các dạng bài tập thường gặp nhất ở các đề thi đại học hiện nay để các bạn cùng tham khảo nhé
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
1. Phương trình tổng quát
Phương trình Δ : ax + by + c = 0, a2 + b2 ≠ 0 là PTTQ của đường thẳng Δ nhận n→ [a;b ]làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
2. Phương trìnhđường thẳng theo đoạn chắn
Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A[a; 0] và B[0; b] có phương trình đoạn theo chắn là x/a + y/b = 1 [a, b ≠ 0]
3. Phương trình tham số
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M[x0,y0] và nhận u→ = [u1, u2] làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là
với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.
4. Phương trình chính tắc
Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua M0[x0, y0] và có vecto chỉ phương u→ = [u1, u2] là
Với u1, u2 ≠ 0
5. Hệ số góc của đường thẳng
Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc α. Đặt k = tanα, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.
Đường thẳng có vecto chỉ phương u→ = [u1, u2] thì có hệ số góc k = u1/u2
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n→ = [a,b] thì có hệ số góc k = – a/b
Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.
6. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Xét 2 đường thẳng D1: a1x + b1y + c1 = 0 ; D2: a2x + b2y + c2 = 0. Tọa độ giao điểm D1, D2 là nghiệm của hệ phương trình:
Ta có các trường hợp sau:
Lưu ý: Nếu a2, b2, c2 ≠ 0 thì
7 Góc giữa 2 đường thẳng
Cho đường thẳng Δ1: a1x + b1y + c1 = 0 có vecto pháp tuyến n→1và Δ2: a2x + b2y + c2 = 0 có vecto pháp tuyến n→2
Đặt j = [ Δ1, Δ2], khi đó
Lưu ý:
8. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng [d] ax + by + c = 0 và M[x0; y0] ∉ [d], khoảng cách từ điểm M đến [d] được tính theo công thức
Tham khảo thêm:
Phương trình đường thẳng trong không gian
1. Dạng tham số
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M[x0,y0,z0 và nhận u→ = [u1, u2, u3] làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là
với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.
2. Dạng chính tắc
Nếu cả u1, u2, u3 đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc
3. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Các dạng bài tập phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng.
Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:
Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm A[3; -7] và B[ 1; -7] có phương trình tham số là:
Dạng 2:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:
Lưu ý:
Nếu đường thẳng ∆1 cùng phương với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0
Nếu đường thẳng ∆1 vuông góc có với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: –bx + ay + c’ = 0
Ví dụ:Đường thẳng đi qua A[1; -2] , nhận n→ = [1; -2] làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x – 2y + 1 = 0; B. 2x + y = 0; C. x – 2y – 5 = 0; D. x – 2y + 5 = 0
Lời giải
Gọi [d] là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = [1; -2] làm VTPT
=>Phương trình đường thẳng [d] : 1[x – 1] – 2[y + 2] = 0 hay x – 2y – 5 = 0
Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0, ta xét các trường hợp sau:
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để tính khoảng cách từ điểm Mo[xo; yo] đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, ta dùng công thức:
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể hệ thống lại kiến thức về phương trình đường thẳng và các dạng bài tập thường gặp để áp dụng giải bài tập nhanh chóng và chính xác nhé
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Phương trình hóa học: C2H5OH + O2 → CH3COOH + H2O
Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số chính xác 100% [ Bài tập minh họa]