Các dạng bài tập về hai tiếp tuyến cắt nhau năm 2024

Công ty TNHH Dịch vụ Giáo dục và Công Nghệ Việt Nam - MST 01068170636

TSC: Số 10D, Ngõ 325/69/14, phố Kim Ngưu, phường Thanh Lương, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội

VP: Số 23 ngõ 26 Nguyên hồng, Láng Hạ, Đống Đa, HN

SĐT: 0932.39.39.56

Phản hồi qua: [email protected]

Tia bắt nguồn từ điểm đó và đi qua tâm của đường tròn là tia phân giác của các góc mà hai tiếp tuyến tạo ra.

• Tia xuất phát từ tâm của đường tròn và đi qua điểm giao là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính khi đi qua tiếp điểm.

\>> Xem thêm: Tìm hiểu về sự xác định đường tròn – Toán học

2. Đường tròn nội tiếp tam giác và đường tròn bàng tiếp tam giác

2.1. Đường tròn nội tiếp tam giác

• Một đường tròn có tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

2.2. Đường tròn bàng tiếp tam giác

• Khi một đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại, ta gọi nó là đường tròn bàng tiếp tam giác.
• Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của một đường phân giác nội và hai đường phân giác ngoại của tam giác.

\>> Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai – Toán học 9

3. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh các đường vuông góc, song song và các đoạn thẳng bằng nhau

Dùng tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh

Dạng 2: Chứng minh đường tiếp tuyến. Tìm độ dài, số đo góc…

Áp dụng khái niệm, tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau; đường tròn nội tiếp, bàng tiếp và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bài 1. Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

1. Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh OE.OA = .

3. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B, C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

Giải

1. AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên:

⇒ B, C nằm trên đường tròn đường kính OA

Vậy 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA.

2. AB, AC là hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm nên:

AB = AC ⇒ △ABC cân tại A.

Cũng có: OA là tia phân giác của góc BAC (tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm)

Suy ra: OA là đường cao của △ABC

⇒ OA ⊥ BC hay OA ⊥ BE

Xét △AOB vuông tại B, đường cao BE, ta có:

OA.OE = (đpcm)

3. PB, PK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm P nên PB = PK

QC, QK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm Q nên QC = QK

Do đó, chu vi tam giác APQ

Vậy chu vi tam giác APQ luôn bằng 4R không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10. Dây cung CD vuông góc với AB tại E sao cho AE = 1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, AK và CE cắt nhau tại M.

1. Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK.

2. Tính BK.

(Đề thi vào khối THPT chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2011)

Giải

1. Ta có: OA = OC (=R) ⇒ △AOC cân tại O

KB, KC là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm K ⇒ OK là tia phân giác của góc BOC

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt đường tròn tại B, C phân biệt. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với OA cắt đường tròn E và F (E thuộc đoạn DF). Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh:

1. 5 điểm A, E, M, O, F cùng thuộc một đường tròn.

2. AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

(Đề thi vào lớp chuyên toán Đại học Sư phạm TP HCM năm 2006)

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB

Tính độ dài đoạn BC.

Bài 3. Cho đường tròn (O, R) nội tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn

Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 4. Cho đường tròn (O, R = 3cm) và một điểm I nằm ngoài đường tròn sao cho

OI = 4cm. Từ I kẻ hai tiếp tuyến IA và IB với đường tròn (A, B là tiếp điểm)

1. Chứng minh 4 điểm O, A, I , B cùng nằm trên một đường tròn.

2. Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt OA tại điểm O’I là tia phân giác của góc AO’C.

Bài 5. Cho đường tròn (O, R) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB của đường tròn (O, R), (với A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua S (không đi qua O) cắt đường tròn tại hai điểm M và N (M nằm giữa S và N). Gọi H là giao điểm của SO và AB, I là trung điểm MN. Hai đường thẳng IO và AB cắt nhau tại E.

1. Chứng minh: SAOB và SHIE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh: IO.OE = .

3. Cho SO = 2R, MN = R. Tính diện tích △EMS theo R.

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S, BC và OS cắt nhau tại M.

1. Chứng minh AB.MB = AE.BS.

2. Hai tam giác AEM và ABS đồng dạng.

Bài 7. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M sao cho MO = 2R. Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O). Hai đường cao BD và AC của △MAB cắt nhau tại H.

1. Chứng minh tứ giác AHBO là hình thoi.

2. Tính góc AMB.

Bài 8. Cho đường tròn (O, R) và M là một điểm di động trên đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, dây cung AB cắt OH, OM lần lượt tại I và K. Chứng minh:

1. OI.OH = OK.OM = .

2. AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên d.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi R(1), R(2), R(3) lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH và ACH. Chứng minh R(1) + R(2) +R(3) = AH.

Bài 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn (O) (M khác A và B). Các tiếp tuyến với đường tròn tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB tại P, MQ vuông góc với AE tại Q. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh ba điểm O, I, E thẳng hàng.

Bài 11. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O. R), với D là tiếp điểm.