Cách so sánh hai đoạn thẳng trong đường tròn
|
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc Bài 1. Cho 4 ABC cân tại A có góc A nhọn. Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường thẳng BC tại D. Đường tròn (K) đường kính AD cắt các đường thẳng DC và AC lần lượt tại H và E. Chứng minh Show a H là trung điểm của BC và HA 2 = HC · HD. b DH là tia phân giác của ̂ADE và KH ‖ DE. Bài 2. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên đường trung trực của AB lấy điểm D sao cho OD = a 2. Nối A với D, vẽ BC vuông góc AD tại C. a Tính AD, AC, BC tại a. b Trên tia đối của tai OD lấy điểm E sao cho OE = a. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. c CE là tia phân giác của ̂ACB. (gợi ý: kẻ CH ⊥ AB) Bài 3 (*). Cho 4 ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của (O) và AB. Chứng minh rằng: a 4 AEF là tam giác cân và DO ⊥ OE. b Bốn điểm D, A, O, E cùng nằm trên một đường tròn. Bài 4 (*). Trên các cạnh AB, BC, CA của 4 ABC đều ta lấy theo thứ tự các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4 ABC. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4 M N P. b Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của AB, M P, AC. Chứng minh rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng. c Xác định vị trí các điểm M, N, P để chu vi 4 M N P nhỏ nhất. Page 4 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU| Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Chõ · 2.Đ÷íng k½nh v d¥y cõa ÷íng trán. Li¶n h» giúad¥y v kho£ng c¡ch tø t¥m ̧n d¥y A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG Trong đường tròn (O): a OH ⊥ AB ⇒ H là trung điểm của AB. b H là trung điểm của AB ⇒ OH ⊥ AB. O A H B 2 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY ) Định lý 1:
) Định lý 2:
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN { DẠNG 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Hai dây bằng nhau ) Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. ) Chứng minh hai tam giác bằng nhau. cccVÍ DỤ MINH HỌAccc Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính. Gọi H, K thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng a CD và HK có trung điểm trùng nhau; b DH = CK. Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng a EH = EK; b EA = EC. ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 5 of 17 MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU ) Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. cccVÍ DỤ MINH HỌAccc Ví dụ 1. Cho điểm A nằm bên trong đường tròn (O). Vẽ dây BC vuông góc với OA. Vẽ dây EF bất kỳ đi qua A và không vuông góc với OA. So sánh độ dài hai dây BC và EF. Ví dụ 2. Cho (O, 5 cm), điểm M cách O 3 cm. b Tính độ dài dây dài nhất đi qua M. Ví dụ 3. Cho AB là dây cung của (O; R) và I là trung điểm của AB (O /∈ AB). b Cho R = 5 cm, OI = 4 cm, tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I. cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc Bài 1. Cho đường tròn (O; R) có hai bán kính OA, OB sao cho ̂AOB = 120◦, gọi OI là đường cao của 4 OAB. Tia OI cắt đường tròn (O) tại C. a Tính các góc, cạnh AB, chiều cao OI của 4 AOB theo R. b Chứng minh tứ giác OACB là hình thoi, tính diện tích của OACB theo R. Bài 2. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: EH = EK và EA = EC. Bài 3. Cho điểm A cố định trong đường tròn (O) và dây cung M N quay quay A. a Chứng minh các trung điểm H của các dây cung M N di động trên một đường tròn cố định. b Xác định vị trí của H khi M N ngắn nhất, dài nhất. Bài 4. Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và AB = R√ 3. a Chứng minh rằng AB 2 + AC 2 = 4R 2. Tính các khoảng cách từ tâm O đến AB và AC. b Trên đoạn thẳng AB lấy điểm P sao cho AP = Ä√3 − 1ä 2. Vẽ dây DE vuông góc với AB tại P . Chứng minh rằng DE = AB. Bài 5. Trong một đường tròn tâm O, hai dây AB và CD song song với nhau. Biết AB = 30 cm, CD = 40 cm. Khoảng cách giữa AB và CD là 35 cm. Tính bán kính đường tròn. ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 7 of 17 MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬUTRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng Bài 6. Cho đường tròn tâm A bán kính AB, dây EF kéo dài cắt đường thẳng AB tại C (E nằm giữa F và C), hạ AD ⊥ CF , hạ AD ⊥ CF. Cho AB = 10 cm; AD = 8 cm; CF = 21 cm. Tính CE và CA. Bài 7 (*). Cho 4 ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh rằng: a 4 AEF cân. b DO ⊥ OE. Chõ · 3à tr½ t÷ìng èi cõa ÷íng th ̄ng v ÷íngtrán. Ti ̧p tuy ̧n cõa ÷íng trán A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN a A ∈ (O), A ∈ d d ⊥ OA ⇒ d là tiếp tuyến của (O). b d là tiếp tuyến của (O) A ∈ (O), A ∈ d ⇒ d ⊥ OA. O A d 2 TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU M A và M B là hai tiếp tuyến của (O). Khi đó - M A = M B; - M O là đường phân giác của AM B̂ và ̂AOB. O M A B B MỘT SỐ DẠNG TOÁN { DẠNG 1. Tính độ dài một đoạn tiếp tuyến ) Xác định tam giác vuông có đỉnh góc vuông là tiếp điểm. ) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính. cccVÍ DỤ MINH HỌAccc Page 8 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng Ví dụ 3. Cho 4 ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A, AH), kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (A) (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng a Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. { DẠNG 3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau M A và M B là hai tiếp tuyến của (O). Khi đó - M A = M B; - M O là đường phân giác của AM B̂ và ̂ AOB. O M A B cccVÍ DỤ MINH HỌAccc Ví dụ 1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O). Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng a OA ⊥ BC; b BD ‖ OA. Ví dụ 2. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến M D, M E với đường tròn đó (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt M D, M E theo thứ tự ở P và Q. Chứng minh chu vi 4 M P Q bằng 2 · M D. Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA = 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt BC tại H, cắt cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt tại I và K. a Chứng minh OA ⊥ BC và HI · OA = R 2. b Chứng minh 4 ABC đều và ABKC là hình thoi. c Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp 4 ABC. Tính theo R bán kính đường tròn này. d Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD ‖ AO. e Vẽ cát tuyến bất kỳ AM N của (O; R). Gọi E là trung điểm của M N. Chứng minh 5 điểm O, E, A, B, C cùng thuộc một đường tròn. Page 10 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬUVí dụ 4 (*). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ B xuống đường kính CD của (O), gọi I là giao điểm của AD và BH. Chứng minh IB = IH. cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc Bài 1. Trên tiếp tuyến tại M thuộc đường tròn (O; R) lấy M A = R, trên (O) lấy N sao cho AN = R. a Chứng minh AM ON là hình vuông. b Chứng minh 4 AN O vuông cân và AN là tiếp tuyến của (O). Bài 2. Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C. a Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn. b Cho bán kính của đường tròn bằng 15 cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC. Bài 3. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại A lấy điểm S sao cho AS = R√ 3. Kéo dài đường cao AH của 4 SAO cắt (O) tại B. a Tính các cạnh và góc của 4 SAO. b Chứng minh rằng SB là tiếp tuyến của (O) và 4 SAB đều. Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt cát tuyến CB tại E. a Tứ giác ACED là hình gì? b Chứng minh 4 HCE cân tại H. c Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. Bài 5. Cho 4 ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại A và D. a Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng. b Chứng minh OD là tiếp tuyến của (K) và KD là tiếp tuyến của (O). Bài 6. Cho 4 ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại H. Chứng minh AH và EF là các tiếp tuyến chung của (I) và (K). Bài 7. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax vẽ tiếp tuyến thứ hai M C với nửa đường tròn. Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng M B đi qua trung điểm của CH. ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 11 of 17 MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Bài 7. Cho (O 1 ) tiếp xúc ngoài với (O 2 ) tại A. Đường nối tâm O 1 O 2 cắt (O 1 ) tại B và (O 2 ) tại C. Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D ∈ (O 1 ), E ∈ (O 2 ) và M là giao điểm của BD và CE. a Tính số đo góc ̂DAE. b Tứ giác ADM E là hình gì? Vì sao? c Chứng minh rằng M A là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Bài 8. Cho hai đường tròn (O 1 ; R) và (O 2 ; R′) (với R 1 6 = R 2 ) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài BC và DE (với B, D thuộc (O 1 ); C, E thuộc (O 2 )). Chứng minh rằng BC + DE = BD + CE. Bài 9. Cho hai đường tròn (O; 3 cm) và (O′; 4 cm) cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) tại M (M 6 = A), cắt (O′) tại N (N 6 = A). Nếu OO′ = 5 cm, hãy tính giá trị lớn nhất của M N. Bài 10 (*). Cho hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) ngoài nhau. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (với A, D thuộc (O 1 ); B, C thuộc (O 2 )). Nối AC cắt (O 1 ) tại M ; cắt (O 2 ) tại N (M 6 = A, N 6 = C). Chứng minh rằng AM = N C. BÀI TẬP TỔNG HỢP TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI Bài 1. Cho đường tròn (O; R) đường tính AB. Qua điểm A kẻ tia tiếp tuyến Ax đến đường tròn (O). Trên tai Ax lấy điểm C sao cho AC > R. Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm). a Chứng minh rằng bốn điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn. b Chứng minh rằng M B ‖ OC. c Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng BC · BK = 4R 2. d Chứng minh rằng CM K̂ = M BĈ. (Đề thi học kì 1 Bắc Từ Liêm, Hà Nội, 2018) Bài 2. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R); trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F. a Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O); b Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông; c Chứng minh AM · OE + BM · OF = AB · EF ; d Tìm vị trí của điểm E trên tia Ax sao cho S 4 AM B = 3 4 S 4 EOF. (Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018) Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A, B) sao cho AC > BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tịa OH tại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn (O) tại E. ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 13 of 17 MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng a Chứng minh HA = HC và ̂DCO = 90◦. b Chứng minh DH · DO = DE · DB. c Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho E là trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng F K cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh M K = M F. (Đề thi học kì 1 Cầu Giấy, Hà Nội, 2018) Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm. C là điểm trên đường tròn (O) sao cho AC = 8cm. Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB). a Chứng minh 4 ABC vuông. Tính độ dài CH và số đo ̂BAC (làm tròn đến độ); b Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại D. Chứng minh OD ⊥ BC; c Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại E. Chứng minh CE · CB = AH · AB; d Gọi I là trung điểm của CH. Tia BI cắt AE tại F. Chứng minh F C là tiếp tuyến của đường tròn (O). (Đề thi học kì 1 Đan Phượng, Hà Nội, 2018) Bài 5. Cho điểm M bất kì nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại M và tại B của (O) cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt M D tại C và cắt BD tại N. a Chứng minh DC = DN. b Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. c Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB, I là trung điểm M H. Chứng minh B, C, I thẳng hàng. d Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt (O) tại K (K và M nằm khác phía với đường thẳng AB). Tìm vị trí của M để diện tích tam giác M HK lớn nhất. (Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018) Bài 6. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy điểm M , qua M kẻ hai tiếp tuyến M E, M F tới đường tròn (O; R), tiếp điểm lần lượt là E và F. Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. a Chứng minh OM vuông góc với EF. b Cho biết R = 6 cm, OM = 10 cm. Tính OH. c Chứng minh 4 điểm A, B, H, M cùng thuộc một đường tròn. d Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác M EF thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên d. Page 14 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng (Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Nam Định, 2018) Bài 11. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (∆) không có điểm chung với đường tròn (O), H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆. Từ một điểm M bất kỳ trên ∆ (M 6 = H), vẽ hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH. a Chứng minh AB = 2AK và năm điểm M, A, O, B, H cùng nằm trên một đường tròn. b Chứng minh OI · OH = OK · OM = R 2. c Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho AN = 2ON. Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỷ số OE OM. (Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Thái Bình, 2018) Bài 12. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm A bất kì trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H, trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HC = HB. a Chứng minh rằng C thuộc đường tròn (O, R) và AC là tiếp tuyến của (O, R). b Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I, OI cắt BC tại K. Chứng minh rằng OH · OA = OI · OK = R 2. (Đề thi học kì 1 Tam Đảo, Vĩnh Phúc, 2018) Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường tròn (O) cắt BC tại điểm thứ hai là I. a Chứng minh AI 2 = BI · CI. b Kẻ OM ⊥ BC tại M , AM cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh 4 AIM v 4 CN M. Từ đó suy ra AM · M N = CM 2. c Từ I kẻ IH ⊥ AC tại H. Gọi K là trung điểm của IH. Tiếp tuyến tại I của (O) cắt AB tại P. Chứng minh ba điểm C, K, P thẳng hàng. d Chứng minh OI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 4 IM N. (Đề thi học kì 1 Thanh Trì, Hà Nội, 2018) Bài 14. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC = R. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với Ax. a Chứng minh tam giác ABC vuông và tính số đo góc ABC. b Từ A kẻ AE vuông góc với KO tại E. Chứng minh rằng KC · BC = OE · OK. c Đường thẳng AE cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của (O). Page 16 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? MATH 0976071956 ? Lớp TOÁN THẦY DŨNG? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU d Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh rằng IO = IN. (Đề thi học kì 1 Thuận An, Bình Dương, 2018) Bài 15. Cho (O; R), đường kính CD, dây BC khác đường kính. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. a Chứng minh AO ⊥ BC. b Giả sử R = 15 cm, dây BC = 24 cm. Tính OA. c Kẻ BH vuông góc với CD tại H, gọi I là giao điểm của AD và BH. Chứng minh rằng I là trung điểm của BH. (Đề thi học kì 1 Phòng GD & ĐT Ninh Bình, 2018) Bài 16. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d′) với đường tròn (O). Một đường thẳng đi qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d′) ở P. Từ O kẻ một tia vuông góc với M P và cắt đường thẳng (d′) ở N. Kẻ OI ⊥ M N tại I. a Chứng minh OM = OP và 4 N M P cân. b Chứng minh OI = R và M N là tiếp tuyến của đường tròn (O). c Tính AIB.̂ d Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AM N B là nhỏ nhất? (Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018) |
