Đề bài
Cho hai đường tròn [O] và [O'] có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn [O"] thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với [O] và [O'] lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Kéo dài BC cắt [O] tại B
Vì C là tâm vị tự trong của [O] và [O] nên hai vecto \[\overrightarrow {O'B'} \]và \[\overrightarrow {O''B} \]ngược hướng
Vì B là tâm vị tự trong của [O] và [O] nên hai vecto \[\overrightarrow {O''B} \] và \[\overrightarrow {OB} \]ngược hướng
Vậy hai vecto \[\overrightarrow {OB} \]và \[\overrightarrow {O'B'} \]cùng hướng
[cùng ngược hướng với\[\overrightarrow {O''B} \]]
Từ đó suy ra đường thẳng BB, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của [O] và [O]
Cách 2:
Kéo dài BC cắt [O'] tại B', cắt OO' tại I. Ta chứng minh I là điểm cố định.
Ta có: \[ \angle OBI =\angle O''BC \] [hai góc đối đỉnh]
\[\angle O''BC = \angle O''CB \] [ tam giác O''BC cân tại O'']
\[ \angle O''CB =\angle O'CB' \] [hai góc đối đỉnh]
\[\angle O'CB' =\angle O'B'C = \angle O'B'I \]
\[\Rightarrow\angle OBI= \angle O'B'I\]. Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.
\[\Rightarrow OB // O'B' \Rightarrow {{IO} \over{IO'}}= {OB \over O'B'}\] cố định
Do đó I là tâm vị tự biến O thành O' tỉ số \[{OB \over O'B'}\]
Vậy BC luôn đi qua điểm I cố định