Cho số phức z thỏa mãn |z 1 i z 3 2i √5 giá trị lớn nhất của |z 2i bằng
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (<=ft| z-1 right|=căn(2) ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (T=<=ft| z+i right|+<=ft| z-2-i right| ) Show Câu 65504 Vận dụng cao Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right|\) Đáp án đúng: d Phương pháp giải Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vector biểu diễn cho các số phức. ...Lời giải của GV Vungoi.vn Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( { - 3 - b} \right) + ai} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {b + 3} \right)^2} + {a^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a = - 2b - 1\end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1} = \sqrt {5\left( {{b^2} + \dfrac{4}{5}b} \right) + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{{25}}} \right) - \dfrac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {b + \dfrac{2}{5}} \right)}^2} + \dfrac{1}{5}} \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(b = - \dfrac{2}{5} \Rightarrow a = - \dfrac{1}{5}.\) Vậy \({\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a = - \dfrac{1}{5}\).
Hay nhất
Chọn A Đặt \({\rm w}=z-1\). Từ đề bài và bất đẳng thức Cauchy -- Schwaz ta có:
\(=10.\left[\left(w+2-3i\right).\left(\overline{w+2-3i}\right)+\left(w+i\right)\left(\overline{w+i}\right)\right]\)
biểu diễn số phức w nằm trong và trên hình tròn tâm \(I\left(4;-4\right)\), bán kính \(R=\sqrt{60} .\) Xét điểm\( A\left(1;-3\right)\) ta có:
\(\Rightarrow Max\left|z-2+3i\right|=\sqrt{10} +\sqrt{60} .\) Cho số phức zthỏa mãn z-1+3i+z¯+5+i=265Giá trị nhỏ nhất của z+2+iđạt được khi z=a+bivới a,blà các số thực dương. Giá trị của 2a2+b2bằng
Đáp án chính xác
Xem lời giải
Giải chi tiết: Gọi \(I\left( 1;1 \right),\,\,J(-1;-3),\,\,A(2;3)\). Xét số phức \(z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)\), có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\). \(\left| z-1-i \right|+\left| z+1+3i \right|=6\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}=6\sqrt{5}\) (1) \(\Leftrightarrow MI+MJ=6\sqrt{5}\Rightarrow M\)di chuyển trên đường elip có tiêu điểm \(I\) và \(J\), độ dài trục lớn là \(3\sqrt{5}\) (như hình vẽ). Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| z-2-3i \right|\) tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip. Ta có: \(\overrightarrow{IA}=(1;2),\,\,\overrightarrow{JA}=(3;6)\Rightarrow \overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{IA}\), điểm A nằm trên trục lớn của elip. \(\Rightarrow AM\) đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I. Gọi S là trung điểm của IJ \(\Rightarrow S\left( 0;-1 \right)\). Độ dài đoạn \(AB=SA+SB\) Mà \(\overrightarrow{AS}=\left( -2;-4 \right)\Rightarrow AS=2\sqrt{5}\), \(SB=\frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}\) \(\Rightarrow AB=5\sqrt{5}\) Vậy \({{\left| z-2-3i \right|}_{\max }}=5\sqrt{5}\). Chọn: D |
