Chứng minh phương trình bậc 4 có nghiệm
Bài viết hướng dẫn phương phápchứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số. Kiến thức và các ví dụ minh học có trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu chuyên đề giới hạn đăng tải trên TOANMATH.com. Phương pháp: Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình$4{x^3} 8{x^2} + 1 = 0$có nghiệm trong khoảng$\left( { 1;2} \right).$ Hàm số$f\left( x \right) = 4{x^3} 8{x^2} + 1$liên tục trên $R.$ Ví dụ 2: Chứng minh phương trình$4{x^4} + 2{x^2} x 3 = 0$có ít nhất $2$ nghiệm thuộc khoảng$\left( { 1;1} \right).$ Đặt$f\left( x \right) = 4{x^4} + 2{x^2} x 3$thì$f\left( x \right)$liên tục trên $R.$ Ví dụ 3: Chứng minh phương trình${x^5} 5{x^3} + 4x 1 = 0$có đúng năm nghiệm. Đặt$f\left( x \right) = {x^5} 5{x^3} + 4x 1$thì$f\left( x \right)$liên tục trên $R.$ Đặt$t = \tan x$,vì$x \in \left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right)$nên$t \in \left( {0;1} \right)$,phương trình đã cho trở thành:$a{t^2} + bt + c = 0$$\left( * \right)$với$t \in \left( {0;1} \right).$ Ví dụ 5: Cho hàm số$y = f(x) = {x^3} \frac{3}{2}{m^2}{x^2} + 32$(với $m$ là tham số). Chứng minh rằng với$m < 2$ hoặc$m > 2$thì phương trình $f(x)=0$có đúng ba nghiệm phân biệt ${x_1}$,${x_2}$,${x_3}$và thỏa điều kiện${x_1} < 0 < {x_2} < {x_3}.$ Ta có:$f(0) = 32$,$f\left( {{m^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {64 {m^6}} \right)$, khi$m < 2$ hoặc$m > 2$thì$\frac{1}{2}\left( {64 {m^6}} \right) < 0$ và${m^2} > 0.$ Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình$\left( {{m^2} m + 3} \right){x^{2n}} 2x 4 = 0$ với$n \in {N^*}$luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Đặt$f\left( x \right) = \left( {{m^2} m + 3} \right){x^{2n}} 2x 4.$ |