Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin x 3 cos x = m có nghiệm

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m) sao cho phương trình (2fleft( {sin x - cos x} right) = m - 1) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng (left( { - frac{pi }{4};frac{{3pi }}{4}} right))?/p 1">

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2f\left( {\sin x – \cos x} \right) = m – 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)?

A. \(13.\)

B. \(12.\)

C. \(11.\)

D. \(21.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(t = \sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\).

adsense

Với \(x \in \left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) \( \Rightarrow x – \frac{\pi }{4} \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\).

Khi đó phương trình đã cho trở thành \(2f\left( t \right) = m – 1\) \( \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{m – 1}}{2}\).\(\)

Với mỗi giá trị của \({t_0} \in \left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\) có duy nhất một giá trị \({x_0} \in \left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) sao cho \({t_0} = \sqrt 2 \sin \left( {{x_0} – \frac{\pi }{4}} \right)\).

Do đó phương trình \(2f\left( {\sin x – \cos x} \right) = m – 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = \frac{{m – 1}}{2}\)có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right)\).

Đáp án:

3

Giải thích các bước giải:

 Phương trình \(a.\sin x + b.\cos x = c\) có nghiệm khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Do đó, phương trình \(\sin x - 3\cos x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
{1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} \ge {m^2}\\
 \Leftrightarrow 10 \ge {m^2}\\
 \Leftrightarrow {m^2} \le 10\\
 \Leftrightarrow  - \sqrt {10}  \le m \le \sqrt {10}
\end{array}\)

Mặt khác, \(m \in {Z^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có nghiệm.