Đề bài
Cho đường tròn [O] có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a] EH = EK
b] EA = EC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Dùng phương pháp hai tam giác bằng nhau.
b] Chứng minh \[HA = KC\] và kết hợp với câu a.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[HA = HB,KC = KD\] nên \[OH \bot AB,OK \bot CD.\]
Ta có \[AB = CD\left[ {gt} \right]\] nên \[OH = OK\] [vì hai dây bằng nhau thì cách đều tâm].
Các tam giác vuông \[OEH\] và \[OEK\] có \[\widehat H = \widehat K = {90^o},OE\] là cạnh chung, \[OH = OK\] [chứng minh trên].
Do đó, \[\Delta OEH = \Delta OEK\] [trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông ]. Suy ra
\[EH = EK{\rm{ }}\left[ 1 \right]\]
b] Ta có \[HA = \dfrac{{AB}}{2},KC = \dfrac{{CD}}{2},\] mà \[AB = CD\] nên
\[HA = HC{\rm{ }}\left[ 2 \right]\]
Từ \[\left[ 1 \right]\] và \[\left[ 2 \right]\] suy ra \[EH + HA = EK + KC\] tức là \[EA = EC.\]