Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có \[a = 12, b = 16, c = 20\]. Tính diện tích \[S\] tam giác, chiều cao \[h_a\], các bán kính \[R, r\] của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến \[m_a\]của tam giác.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Diện tích tam giác \[S = \sqrt {p\left[ {p - a} \right]\left[ {p - b} \right]\left[ {p - c} \right]} \]
- Chiều cao: \[S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a}\]
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \[S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}}\]
- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: \[S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\]
- Trung tuyến: \[m_a^2 = \frac{{2\left[ {{b^2} + {c^2}} \right] - {a^2}}}{4}\]
Lời giải chi tiết
* Tính diện tích: Sử dụng công thức Hê-rông với:
\[\eqalign{
& p = \frac{{a + b + c}}{2}= {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24 \cr
& S= \sqrt {p\left[ {p - a} \right]\left[ {p - b} \right]\left[ {p - c} \right]} \cr &= \sqrt {24[24 - 12][24 - 16][24 - 20]} \cr&= \sqrt {24.12.8.4} = 96[dvdt] \cr} \]
* Tính \[h_a\]: Ta có:
\[\eqalign{
& S = {1 \over 2}a{h_a} \Leftrightarrow 96 = {1 \over 2}.12.{h_a} \cr& \Leftrightarrow 96 = 6.{h_a} \cr
& \Leftrightarrow {h_a} = {{96} \over 6} = 16 \cr} \]
* Tính \[R\]
Ta có: \[S = {{abc} \over {4R}} \Leftrightarrow R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10\]
* Tính \[r\]
Ta có: \[S = p.r \Leftrightarrow r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4\]
* Tính \[m_a\]. Ta có:
\[\eqalign{
& {m_a}^2 = {{2[{b^2} + {c^2}] - {a^2}} \over 4} \cr&= {{2[{{16}^2} + {{20}^2}] - {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr
& \Leftrightarrow {m_a} = \sqrt {292} \approx 17,09 \cr} \]
Cách khác:
Nhận xét: Tam giác ABC có a2+ b2= c2nên vuông tại C.
+ Diện tích tam giác: S = 1/2.a.b = 1/2.12.16 = 96 [đvdt]
+ Chiều cao ha: ha= AC = b = 16.
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB /2 = c/2 = 10.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p.r r = S/p.
Mà S = 96, p = [a + b + c] / 2 = 24 r = 4.
+ Đường trung tuyến ma:
ma2= [2.[b2+ c2] a2] / 4 = 292 ma= 292.