Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\]. Trên \[AC\] lấy một điểm \[M\] và vẽ đường tròn đường kính \[MC\]. Kẻ \[BM\] cắt đường tròn tại \[D\]. Đường thẳng \[DA\] cắt đường tròn tại \[S\]. Chứng minh rằng:
a] \[ABCD\] là một tứ giác nội tiếp;
b] \[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\];
c] \[CA\] là tia phân giác của góc \[SCB\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Nếu hai đỉnh kề một cạnh của một tứ giác cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
+ Sử dụng: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
Lời giải chi tiết
a] Ta có góc \[\widehat {MDC}\]là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[[O]\] nên \[\widehat {MDC} = {90^0}\]
\[CDB\] là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].
Ta có \[ABC\] vuông tại \[A\].
Do đó \[ABC\] nội tiếp trong đường tròn tâm \[I\] đường kính \[BC\].
Ta có \[A\] và \[D\] là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn \[BC\] dưới một góc \[90^0\] không đổi nên tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]
b] Ta có \[\widehat {AB{\rm{D}}}\]là góc nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] chắn cung \[AD\].
Tương tự góc \[\widehat {AC{\rm{D}}}\]là góc nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] chắn cung \[AD\]
Vậy \[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\]
c] Ta có:
\[\widehat {ADB} + \widehat {BDS} = {180^0}\] [ 2 góc kề bù]
Mà \[\widehat {MCS} + \widehat {MDS} = {180^0}\] [tứ giác CMDS nội tiếp đường tròn [O]]
Từ đó ta có: \[\widehat {ADB}=\widehat {MCS}\] [1]
Lại có tứ giác ABCD nội tiếp nên \[\widehat {ADB}=\widehat {ACB}\] [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra \[\widehat {MCS}=\widehat {ACB}\]
Vậy tia \[CA\] là tia phân giác của góc \[SCB\]