Đề bài
Cho tam giác đều \[ABC\], \[O\] là trung điểm của \[BC\]. Trên các cạnh \[AB, AC\] lần lượt lấy các điểm di động \[D\] và \[E\] sao cho góc \[\widehat {DOE} = {60^0}\].
a] Chứng minh tích \[BD.CE\] không đổi.
b] Chứng minh \[ΔBOD\] đồng dạng\[ΔOED\]. Từ đó suy ra tia \[DO\] là tia phân giác của góc \[BDE\].
c] Vẽ đường tròn tâm \[O\] tiếp xúc với \[AB\]. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với \[DE\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh các cặp tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
+] Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải chi tiết
a] Chứng minh tích \[BD.CE\] không đổi.
Ta có \[\widehat {DOC}\]là góc ngoài của \[ BDO\] nên: \[\widehat {DOC} = \widehat B + {\widehat D_1}\]
hay \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat B + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {{O_2}} = {60^0} + \widehat {{D_1}}\]
\[\Leftrightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\]
Xét hai tam giác: \[BOD\] và \[CEO\], ta có: \[\widehat B = \widehat C = {60^0}\][gt] và \[\widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\] [cmt]
\[ BOD\] đồng dạng \[CEO\] [g.g]
\[ \displaystyle \Rightarrow {{B{\rm{D}}} \over {BO}} = {{CO} \over {CE}} \Rightarrow B{\rm{D}}.CE = BO.CO\]
hay \[\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{BC} \over 2}.{{BC} \over 2} = {{B{C^2}} \over 4}\][không đổi]
Vậy \[\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{B{C^2}} \over 4}\]không đổi
b] Chứng minh \[ΔBOD\] đồng dạng \[ΔOED\]
Từ câu [a] ta có: \[BOD\] đồng dạng \[CEO\]
\[ \displaystyle \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OC}} = {{B{\rm{D}}} \over {OB}}\] [do \[OC = OB\]]
Mà \[\widehat B = \widehat {DOE} = {60^0}\]
Vậy \[ΔBOD\] đồng dạng \[ΔOED\] [c.g.c] \[\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\]
hay \[DO\] là tia phân giác của góc \[BDE\]
c] Vẽ \[OK \bot DE\] và gọi \[I\] là tiếp điểm của \[[O]\] với \[AB\], khi đó \[OI \bot AB\]. Xét hai tam giác vuông: \[IDO\] và \[KDO\], ta có:
\[DO\] chung
\[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\][do \[DO\] là tia phân giác của góc \[BDE\]]
Vậy \[ΔIDO= ΔKDO \, [ch - gn]\]\[ OI = OK\] [các cạnh tương ứng].
Điều này chứng tỏ rằng \[OK\] là bán kính của \[[O]\] và \[OK \bot DE\] nên \[K\] là tiếp điểm của \[DE\] với \[[O]\] hay \[DE\] tiếp xúc với đường tròn \[[O].\]